Жонатан Клосс є вихованцем футбольної академії клубу «Страсбур». Після цього він тривалий час виступав у клубах нижчих дивізіонів чемпіонату Франції. Поки у 2017 році підписав контракт з клубом Ліги 2 «Кевії» з міста Руан.[1] Через рік Клос перебрався до Німеччини, де два наступні сезони провів у клубі Другої Бундесліги «Армінія» з Білефельда.[2] У сезоні 2019/20 Клосс у складі «Армінії» виграв німецьку Другу Бундеслігу але до вищого дивізіону він не потрапив. Вже у травні 2020 року стало відомо, що по завершенні контракту з німецьким клубом, Клосс повернеться до Франції, де він підписав трирічний контракт з «Лансом».[3] У віці 28 - ми років Клос дебютував у французькій Лізі 1. У сезоні 2020/21 Жонатан Клосс був внесений до команди роки Ліги 1 Національним Союзом Футболістів Професіоналів.
У липні 2022 року Клосс перейшов до клубу «Марсель», з яким підписав контракт на три роки.[4] Вже 7 серпня футболіст зіграв першу гру у новій команді, коли вийшов у стартовому складі на гру проти «Реймса».[5] Також в сезоні 2022/23 Клосс брав участь у груповому раунді Ліги чемпіонів.
25 липня 2024 року за 5 млн євро перейшов у «Ніццу».[6]
