1943—1944 роки — Ґерхарт Гауптманнґассе, на честь німецького письменника, драматурга Ґергарта Гауптмана;
1944—1945 роки — вулиця Жмурки, повернена передвоєнна назва вулиці;
1945—1963 роки — вулиця Березіна, на честь радянського зброяра, конструктора авіаційного озброєння Михайла Березіна.
У 1963 році до вулиці Богуна приєднали колишню вулицю Березіна і назва — вулиця Богуна поширилася на всю вулицю[5].
Забудова
В архітектурному ансамблі вулиці переважає конструктивізм та віденська сецесія[4]. Декілька будинків на вулиці внесені до Реєстру пам'яток архітектури місцевого значення м. Львова[3].
№ 3 — кам'яниця, споруджена у 1899 році, нагадує кам'яницю на вул. Нечуя-Левицького, 21. Будинок внесений до Реєстру пам'яток архітектури місцевого значення під № 850-м[3].
№ 5, 7 — триповерхові чиншові кам'яниці, споруджені у 1906—1907 роках фірмою Івана Левинського для Людвіка Гірша, автором проєкту є, ймовірно, архітектор Лев Левинський[6][7]. Оздоблення їх фасадів оживляють вставки з керамічної плитки. Будинки внесені до Реєстру пам'яток архітектури місцевого значення під № 851-м та 852-м відповідно[3].
№ 6 — триповерхова чиншова кам'яниця, споруджена у 1912—1914 роках за проєктом архітектора Івана Багенського.
№ 15, 17 — житлові будинки споруджені у 1950-х роках.
Житловий будинок (Богуна, 3)
Колишня кам'яниця Людвіка Гірша (Богуна, 5)
Колишня кам'яниця Людвіка Гірша (Богуна, 7)
Житловий будинок (Богуна, 8)
Транспорт
Від 3 липня 2019 року змінилася організація дорожнього руху на вулицях Богуна та Нечуя-Левицького. Рух на вулиці Богуна відтепер є одностороннім від вулиці Сахарова до вулиці Чупринки. Вулицю Богуна вирішили зробити односторонньою через те, що тут часто паркують автомобілі, що унеможливлює зустрічний роз'їзд автотранспорту[2].