Народився 1 лютого1996 року в місті Зальцбург. Вихованець клубу «Ред Булл» з рідного міста. Через високу конкуренцію не зміг дебютувати за основну команду і здавався в оренду спочатку до фарм-клубу «Ліферінг», а потім до партнерського німецького клубу «РБ Лейпциг», але і там за першу команду не грав.
У 2015 році Шлагер був відданий в оренду в «Гредіг» , де дебютував на дорослому рівні, вийшовши на поле в матчі австрійської Бундесліги 25 липня 2015 року проти «Альтаха» (2:1)[1]. Всього у тому сезоні він зіграв 10 ігор чемпіонату, пропустивши 21 гол, а його команда посіла останнє 10 місце і вилетіла з вищого дивізіону. Наступний сезон 2016/17 Шлагер провів також в оренді граючи за клуб другого дивізіону «Флорідсдорфер».
В липні 2017 року на правах вільного агента перейшов у ЛАСК (Лінц)[2], де з сезону 2018/19 став основним воротарем. Станом на 13 грудня 2020 року відіграв за команду з Лінца 74 матчі в національному чемпіонаті.
Виступи за збірні
В березні 2012 року дебютував за юнацьку збірну Австрії (U-17). У 2013 році у її складі Шлагер взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи в Словаччині. На турнірі він зіграв у всіх трьох матчах, але команді не вдалося подолати груповий етап. Тим не менш 3 місце у групі дозволило австрійцям кваліфікуватись на тогорічний юнацький чемпіонат світу в ОАЕ. Там теж Шлагер був основним воротарем, зігравши усі три гри, а Австрія посіла останнє місце у групі.
У 2015 році у складі юнацької збірної Австрії до 19 років Александер взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи в Греції. На турнірі він зіграв у двох матчах, але і цього разу австрійці не вийшли з групи. Загалом на юнацькому рівні Шлагер взяв участь у 28 іграх, пропустивши 16 голів.
У 2015–2019 роках залучався до складу молодіжної збірної Австрії. На молодіжному рівні зіграв у 18 офіційних матчах.