Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

У математиці, спеціальна лінійна група ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ або ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ — це група дійсних ${\displaystyle :2\times 2}$ матриць, з детермінантом ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\colon a,b,c,d\in \mathbb {R} \ {\text{і}}\ ad-bc=1\right\}.}$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle 2\times 2}$ спеціальна проєктивна група над ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Більш конкретно,

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I\}}$,

де ${\displaystyle I}$ — ${\displaystyle 2\times 2}$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група^[en] ${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbb {R} )}$, або метаплектична група^[en] (вважаючи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )}$, група дійсних ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць з детермінантом ${\displaystyle \pm 1}$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ це група всіх лінійних перетворень у ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$, яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )}$і спеціальній унітарній групі ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$.Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )}$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ допускає декілька цікавих означень:

• Це група проєктивних перетворень на дійсній проєктивній прямій^[en] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, що зберігає орієнтацію.
• Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
• Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
• Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,2)}$. З цього випливає, що ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ізоморфна спінорній групі ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)^{+}}$.

Елементи модулярної групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.

Елементи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій^[en] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$:

${\displaystyle [x,1]\longmapsto [x,1]\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)=[ax+b,cx+d]=\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},1\right].}$

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$, яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ описує гіперболічні рухи^[en].

Елементи групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

${\displaystyle z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\ ({\text{де}}\ a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки^[1] з гіперболічна геометрією.

Група ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ діє на свою алгебру Лі ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$. Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$. Як результат матимемо наступне представлення:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]\longmapsto \left[{\begin{matrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{matrix}}\right]}$.

Форма Кіллінга алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ має сигнатуру ${\displaystyle (2,1)}$ і встановлює ізоморфізм між групою ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ і групою Лоренца ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}$. Така дія групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Власні значення елемента ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ задовольняють характеристичний многочлен

${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\lambda +1=0}$,

звідси

${\displaystyle \lambda ={\frac {\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\operatorname {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}}$.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|<2}$, то ${\displaystyle A}$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|=2}$, то ${\displaystyle A}$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|>2}$, то ${\displaystyle A}$ називається гіперболічним і є відображенням стискання^[en].

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} }$; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти ${\displaystyle \pm 1}$, як і при роботі з групою ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$), тоді це приводить до наступних випадків: ${\displaystyle \epsilon <1}$, еліптичний; ${\displaystyle \epsilon =1}$, параболічний; ${\displaystyle \epsilon >1}$, гіперболічний.

Одиничний елемент ${\displaystyle 1}$ і від'ємний одиничний елемент ${\displaystyle -1}$ (у випадку групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ вони співпадають) мають слід ${\displaystyle \pm 2}$, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ і ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$(дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою^[en], гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т. ін.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на ${\displaystyle \pm 1}$), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$), у той час як параболічні елементи (включаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є замкнутими множинами.

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-}\}}$, де ${\displaystyle \omega }$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями ${\displaystyle \pm i}$ і є спряженими до поворотів на ${\displaystyle 90^{\circ }}$, а також є квадратами до ${\displaystyle -I}$: вони є нетотожними інволюціями у групі ${\displaystyle \operatorname {PSL(2)} }$.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу ${\displaystyle \operatorname {SO(2)} }$; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі ${\displaystyle \operatorname {GL(2)} }$, але не у групі ${\displaystyle \operatorname {SL(2)} }$.)

• Лінійна група
• Спеціальна лінійна група
• Проєктивна лінійна група
• Модулярна група
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ (Перетворення Мебіуса)
• Проєктивне перетворення
• Група Фукса
• Таблиця груп Лі^[en]
• Дифеоморфізм Аносова