Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Ді́я групи ${\displaystyle G}$ на множині ${\displaystyle X}$ — це відображення

${\displaystyle G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto gx,}$

що має властивості:

• ${\displaystyle \ g(hx)=(gh)x}$
• ${\displaystyle \ ex=x}$

для всіх ${\displaystyle g,h\in G,x\in X,}$ де ${\displaystyle \ e}$ — це нейтральний елемент ${\displaystyle G.}$

З аксіом групи випливає, що для кожного ${\displaystyle g\in G,}$ відображення множини ${\displaystyle \ X}$ до себе за формулою ${\displaystyle x\mapsto gx}$ є бієкцією або автоморфізмом ${\displaystyle \ X.}$

• Вільна, якщо для будь-яких ${\displaystyle g,\;h\in G}$ не рівних між собою і довільного ${\displaystyle m\in M}$ виконується ${\displaystyle \ gm\neq hm}$.
• Транзитивна якщо для будь-яких ${\displaystyle m,\;n\in M}$ існує ${\displaystyle g\in G}$ такий, що ${\displaystyle gm=n}$, тобто якщо ${\displaystyle Gm=M}$ для довільного ${\displaystyle m\in M}$.
• Ефективна, якщо для довільних ${\displaystyle g,\;h\in G}$ існує ${\displaystyle m\in M}$ такий, що ${\displaystyle gm\neq hm}$.

Підмножина

${\displaystyle Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M}$

називається орбітою елемента ${\displaystyle m\in M}$.

Дія групи ${\displaystyle G}$ на множині ${\displaystyle M}$ визначає на ній відношення еквівалентності

${\displaystyle \forall n,\;m\in M\;(n\sim _{G}m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).}$

Підмножина

${\displaystyle G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G}$

є підгрупою групи ${\displaystyle G}$ і називається стабілізатором елемента ${\displaystyle m\in M}$.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо ${\displaystyle n\sim _{G}m}$, то існує такий елемент ${\displaystyle g\in G}$, що

${\displaystyle G_{m}=gG_{n}g^{-1}.}$

Загальна кількість елементів в орбіті елемента ${\displaystyle m\in M}$ визначається за формулою:

${\displaystyle |Gm|=[G:G_{m}]}$, де ${\displaystyle G_{m}}$ — стабілізатор елемента ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle [G:G_{m}]}$ — індекс підгрупи ${\displaystyle G_{m}\subset G}$, що для скінченних груп рівний ${\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого ${\displaystyle g\in G.}$ Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=G_m  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g₁x=g₂x то ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}\in H}$ і як наслідок g₁H=g₂H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g₁H=g₂H тоді ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}\in H}$ і згідно з означенням стабілізатора ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}x=x,}$ звідки випливає g₁x=g₂x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо ${\displaystyle M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}}$, то

${\displaystyle |M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]}$ — формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

1. ${\displaystyle \forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;}$
2. ${\displaystyle \sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;}$
3. Лема Бернсайда

• Псевдогрупа перетворень

• Представлення групи

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.