Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Група називається скінченною ${\displaystyle p}$-групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.

Нехай ${\displaystyle P}$ — скінченна ${\displaystyle p}$-група, тоді

• ${\displaystyle P}$ — нільпотентна;
• ${\displaystyle |Z(P)|>1}$, де ${\displaystyle Z(P)}$ — центр групи P;
• для будь-кого ${\displaystyle 1\leq k<n}$ в ${\displaystyle P}$ існує нормальна підгрупа порядку ${\displaystyle p^{k}}$;
• якщо ${\displaystyle H}$ нормальна в ${\displaystyle P}$, то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$;
• ${\displaystyle P'\leq \Phi (P)}$;
• ${\displaystyle P/\Phi (P)\cong E_{p^{d}}}$.

У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних ${\displaystyle p}$-груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу порядку ${\displaystyle p^{n}}$називають групою максимального класу, якщо її степінь нільпотентності дорівнює ${\displaystyle n-1}$.

Якщо ${\displaystyle P}$ — скінченна ${\displaystyle p}$-група максимального класу, то ${\displaystyle P'=\Phi (P)}$ і ${\displaystyle |Z(P)|=p}$.

Єдиними 2-групами порядку ${\displaystyle 2^{n}}$ максимального класу є: діедральна група ${\displaystyle D_{2^{n}}}$, узагальнена група кватерніонів ${\displaystyle Q_{2^{n}}}$ та напівдіедральна група ${\displaystyle SD_{2^{n}}}$ .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу називають ${\displaystyle p}$-центральною, якщо ${\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної ${\displaystyle p}$-групи.

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу називають потужною, якщо ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p}}$ при ${\displaystyle p\neq 2}$ і ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4}}$ при ${\displaystyle p=2}$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю ${\displaystyle p}$-центральної ${\displaystyle p}$-групи.

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу ${\displaystyle P}$ називають регулярною, якщо для будь-яких ${\displaystyle x,y\in P}$ виконано ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}}$, де ${\displaystyle c\in P'}$. Регулярними є, наприклад, усі абелеві ${\displaystyle p}$-групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.

• Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної ${\displaystyle p}$-групи регулярна.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група порядку не більшого ${\displaystyle p^{p}}$ є регулярною.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група, клас нільпотентності якої менше ${\displaystyle p}$, є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при ${\displaystyle p>2}$.
• Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.

• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p}$ дорівнює 1: група ${\displaystyle C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{2}}$ дорівнює 2: групи ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ і ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{3}}$ дорівнює 5, з них три абелеві групи: ${\displaystyle C_{p^{3}}}$, ${\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}$, ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ і дві неабелеві: при ${\displaystyle p>2}$ — ${\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}$ і ${\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}$ ; при p = 2 — ${\displaystyle D_{4}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{4}}$ дорівнює 15 при ${\displaystyle p>2}$, число груп порядку ${\displaystyle 2^{4}}$ дорівнює 14.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{5}}$ дорівнює ${\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{5}}$ дорівнює 51, число груп порядку ${\displaystyle 3^{5}}$ дорівнює 67.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{6}}$ дорівнює ${\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{6}}$ дорівнює 267, число груп порядку ${\displaystyle 3^{6}}$ дорівнює 504.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{7}}$ дорівнює ${\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}$ при ${\displaystyle p>5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{7}}$ дорівнює 2328, число груп порядку ${\displaystyle 3^{7}}$ дорівнює 9310, число груп порядку ${\displaystyle 5^{7}}$ дорівнює 34297.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотично дорівнює ${\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}$.

Для груп ${\displaystyle p}$-автоморфізмів скінченної ${\displaystyle p}$-групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:

• Нехай ${\displaystyle P}$ є нециклічною ${\displaystyle p}$-групою порядку ${\displaystyle |P|\geq p^{3}}$ тоді ${\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}$.

Цю гіпотезу підтверджено для великого класу ${\displaystyle p}$-груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше ${\displaystyle p^{7}}$, групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.

Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку ${\displaystyle q}$ нільпотентна.

• Нехай група ${\displaystyle P}$ має регулярний автоморфізм простого порядку ${\displaystyle q}$. Тоді її клас нільпотентності дорівнює ${\displaystyle cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}}$.

Поки що доведено лише значно слабші оцінки: ${\displaystyle cl(P)<q^{q}}$ (Кострикін, Крекнін).

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з ${\displaystyle m}$ твірними та періодом ${\displaystyle n}$ (тобто всі її елементи ${\displaystyle x}$ задовольняють співвідношенню ${\displaystyle x^{n}=1}$), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через ${\displaystyle B(m,n)}$. Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група ${\displaystyle B(m,2)}$ є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи ${\displaystyle B(m,3)}$ дорівнює ${\displaystyle 3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}}$. Однак, як показали Новіков і Адян, при ${\displaystyle m\geq 2}$ і за будь-якого непарного ${\displaystyle n\geq 4381}$ група ${\displaystyle B(m,n)}$ нескінченна.

Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних ${\displaystyle m}$-породжених груп періоду ${\displaystyle n}$ обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних ${\displaystyle p}$-груп вона означає, що існує лише скінченне число ${\displaystyle p}$-груп даної експоненти та з цим числом твірних.

Класифікація нерегулярних ${\displaystyle p}$-груп порядку ${\displaystyle p^{p+1}}$

• GAP (система комп'ютерної алгебри)

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D.^[en] Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B.^[en] Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M.^[en] Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A.^[en], Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.