Народився 13 січня1960 року в місті Орєхово-Зуєво, Московська область. Вихованець груп підготовки при орєхово-зуєвській команді «Знамя Труда» та московській СДЮШОР «Динамо». Закінчив Орєхово-Зуєвський текстильний технікум за спеціальністю технік теплотехнічного обладнання промислових підприємств[1], де його викладачем був Василь Чавкін — колишній гравець клубу «Знамя Труда».
У 1981 році Уваров був запрошений до основної команди «Динамо». 12 серпня 1981 року, у домашній грі проти ленінградського«Зеніту», вийшов на заміну Миколі Гонтарю на 76-й хвилині. Команда програвала з рахунком 0:2, до кінця гри результат не змінився. У 1982 році головний тренер «Динамо» В'ячеслав Соловйов вже більше довіряв Уварову — 1-а гра в сезоні для нього припала на 2-й тур, і знову це був матч проти «Зеніту», і знову результат був 0:2. Загалом у сезоні провів 15 ігор, пропустив 23 м'ячі.
У 1983—1987 роках йому довіряли менше — проводив за сезон не більше 10 матчів[2].
B 1991 року на нього вийшло керівництво ізраїльського клубу «Маккабі» (Тель-Авів). Спочатку Уваров відмовлявся від пропозицій, але після особистого приїзду до Москви тренера «Маккабі» Авраама Гранта та розмови з Миколою Толстих, з якої він зрозумів, що в «Динамо» та збірній на нього особливо не розраховують, вирішив їхати до Ізраїлю[3]. У «Маккабі» вирушив разом з екс-гравцем «Торпедо» Олександром Полукаровим[4]. У новій команді їх зустріли тепло та дали зрозуміти, що на них повністю розраховують. Контракт було підписано на 10 місяців.
Дебют за нову команду у чемпіонаті припав на 1 тур, на домашню гру з «Бейтаром» з Єрусалиму, що відбулася 14 вересня 1991 року. Гра складалася вдало, «Маккабі» вів 2:0, проте з 86-ї хвилини все змінилося — «Бейтар» забив 3 м'ячі поспіль, а Полукаров був вилучений з поля. Декілька турів Уваров також грав невпевнено — у чотирьох наступних матчах він пропустив 9 м'ячів. Проте надалі гра у воротаря налагодилася, знайшлося порозуміння з партнерами, і «Маккабі» став стабільно перемагати у чемпіонаті. Зрештою, за 4 тури до кінця чемпіонату клуб забезпечив собі чемпіонський титул. Крім того, був шанс зробити дубль — «Маккабі» вийшов у фінал Кубка Ізраїлю. Проте у фіналі «Маккабі» поступився у додатковий час «Хапоелю» з Петах-Тікви 1:3. Тим не менш, за підсумками сезону визнаний найкращим легіонером чемпіонату[5].
Перед сезоном 1992/93 клуб переуклав контракт з Уваровим, на його прохання залишили в команді і Полукарова. Договір було укладено на 3 роки. У сезоні 92/93 «Маккабі» дебютував у єврокубках, де провів 4 гри. У домашньому чемпіонаті захистити чемпіонський титул не вдалося — «Маккабі» поступився єрусалимському «Бейтару», посівши 2-е місце. У наступному сезоні «Маккабі» також залишився на 2-му місці, проте зумів взяти Кубок Ізраїлю.
У сезоні 1994/95 клуб не залишив шансів своїм суперникам, і Уваров вдруге став чемпіоном Ізраїлю. Команда повторила це досягнення і наступного сезону. Уваров того року не пропустив жодної гри клубу і був визнаний найкращим футболістом ізраїльського чемпіонату.
У команді росіянин грав ще 4 сезони. Останню гру провів 13 травня 2000 проти єрусалимського «Бейтара»[6][7].
У складі збірної був учасником чемпіонату світу 1990 року в Італії. Після програшу збірної СРСР першого матчу на чемпіонаті 0:2 збірній Румунії, де основним воротарем був Рінат Дасаєв, Уваров провів два наступні матчі групового турніру з Аргентиною (0:2) і Камеруном (4:0). Після «мундіалю» став одним із основних воротарів збірної СРСР, поки грав на батьківщині.
Під час чемпіонату Європи 1992 року Уваров не був включений до заявки збірної СНД: тоді заявка збірних команд могла включати лише 20 футболістів, що передбачало присутність у ній лише двох воротарів — у збірній цими двома воротарами стали Дмитро Харін та Станіслав Черчесов. Проте Уваров мав офіційний статус резервного воротаря.
Загалом протягом кар'єри в національній команді, яка тривала 2 роки, провів у її формі 11 матчів, пропустивши 8 голів.
Тренерська кар'єри
Після закінчення ігрової кар'єри працював тренером воротарів «Маккабі» та збірної Ізраїлю з футболу. У 2003 році отримав ізраїльське громадянство. Перед Днем Незалежності в 2004 році відмовився входити до числа видатних спортсменів, яким була честь запалити святковий сигнальний вогонь, через зауваження колишньої дзюдоїстки Яель Арад (яка завоювала першу в історії країни олімпійську медаль), що натякала на російське походження Уварова[8]. У 2018 році пішов з посади тренера воротарів та очолив молодіжну команду «Маккабі»[9].
