Почав займатися музикою з раннього дитинства разом із батьками — його батько, Леопольд Вітольдович Ростропович (1892—1942), був відомим віолончелістом, а мати — піаністкою.
1945 року завоював популярність як віолончеліст, вигравши золоту медаль на першому в СРСР конкурсі молодих музикантів. Завдяки міжнародним контрактам і турам Ростропович став відомим на Заході.
З 1974 року він став одним із провідних диригентів Заходу.
Протягом 17 сезонів був беззмінним диригентом і художнім керівником Національного симфонічного оркестру в Вашингтоні, який під його керівництвом увійшов до числа найкращих оркестрів США. Крім того, Ростропович диригував оркестрами Берлінської філармонії, Бостонського симфонічного оркестру, Лондонського симфонічного оркестру і Лондонської філармонії. Його останніми записами були Концерт Шнітке для віолончелі з оркестром № 2 і «Повернення в Росію» — унікальний документальний фільм про поїздку Ростроповича в Москву з Національним симфонічним оркестром в 1990 році.
Ростропович важко хворів: у лютому і квітні 2007 року йому зробили дві операції у зв'язку із злоякісною пухлиною печінки[6].
Відомий і своєю благодійною діяльністю: він був президентом «Благодійного фонду Вишневської-Ростроповича», що надає допомогу дитячим лікувальним установам РФ, а також одним із піклувальників Школи імені А. М. Горчакова, яку відродили в дусі і традиціях царськосільського ліцею.
Нагороди й звання
Дійсний член Академії мистецтв Франції (входить до числа «Сорока безсмертних») (1987)