Походив зі збіднілого, білоруського шляхетського роду, відомого від початку XVI ст., одна з гілок якого — відомий український старшинський рід Громики, велику частину якого за часів Російської імперії було переведено в податні стани. В офіційних біографіях зазначалося селянське походження і те, що його батько був селянином, який працював на заводі. Навчався в профтехшколі, технікумі.
У 1932 закінчив Білоруський державний інститут народного господарства, а в 1936 — аспірантуру Всесоюзного науково-дослідного інституту економіки сільського господарства в Москві. З 1936 — старший науковий співробітник Інституту економіки АН СРСР.
З 1939 — в Наркоматі закордонних справ (НКЗС) СРСР. У 1939 — завідувач Відділу американських країн НКЗС.
З 1939 до 1943 — радник повпредства СРСР у США. З 1943 до 1946 — посол СРСР у США й одночасно посланник СРСР на Кубі. З 1946 до 1948 — постійний представник СРСР у Раді Безпеки ООН.
З 1946 до 1949 — заступник міністра закордонних справ СРСР. З 1949 до 1952 — 1-й заступник міністра закордонних справ СРСР.
З червня 1952 до квітня 1953 — посол СРСР у Великій Британії. З березня 1953 до лютого 1957 — 1-й заступник міністра закордонних справ СРСР.
З 15 лютого 1957 до 2 липня 1985 року — міністр закордонних справ СРСР. 28-річне перебування на посаді міністра закордонних справ — найдовше в XX столітті у світі. Одночасно з 24 березня 1983 до 2 липня 1985 року — 1-й заступник голови Ради Міністрів СРСР.
З 2 липня 1985 до 1 жовтня 1988 року — голова Президії Верховної Ради СРСР; після смерті К. У. Черненка на цей пост було обрано Громика, а не нового Генсека ЦК КПРС М. С. Горбачова, всупереч усталеній у 1977—1985 традиції суміщення цих посад. Вересневий (1988) пленум ЦК дав генеральному секретареві (Горбачову) рекомендацію виставити свою кандидатуру на вакантну у зв'язку з переходом А. Громика на пенсію посаду голови президії ВР СРСР.[5] Зі жовтня 1988 — на пенсії.
Після його смерті в Гомелі відбувся траурний мітинг, в центрі міста встановлено бюст.
Родина
Батько — Андрій Матвійович Громико.
Мати — Ольга Євгенічна Бекаревич.
Брати — Олексій, Федір та Дмитро, усі троє брати участь у німецько-радянській війні та загинули у боях.
↑Бібліографічне посилання: Кульчицький С. В. КОНСТИТУЦІЙНА РЕФОРМА В СРСР 1988 // Енциклопедія історії України: Т. 5: Кон — Кю / Редкол.: В. А. Смолій (голова) та ін. НАН України. Інститут історії України. — К.: В-во «Наукова думка», 2008. — 568 с.: іл. — Режим доступу: http://www.history.org.ua/?termin=Konstitutsiyna_Reforma_V_Srsr_1988