В Евклідовій геометрії вписаний чотирикутник^[1] — це чотирикутник, вершини якого лежать на одному колі.

Це коло називається описаним колом, а вершини є конциклічними. Центр описаного навколо чотирикутника кола лежить на перетині його серединних перпендикулярів.

Інші назви цих чотирикутників — це конциклічні чотирикутники та хордальні чотирикутники, оскільки сторони чотирикутника — це хорди описаного кола.

Вписаний чотирикутник може бути опуклим або перехрещеним чотирикутником. Формули та властивості, наведені нижче, стосуються опуклих вписаних чотирикутників.

Не кожен чотирикутник можна вписати в коло. Прикладом чотирикутника, який не можна вписати, є не квадратний ромб, або нерівнобічна трапеція.

Будь-який квадрат, прямокутник, рівнобедрену трапецію або антипаралелограм можна вписати в коло.^[2]

Дельтоїд можна вписати, тоді й лише тоді, коли він має два протилежні прямі кути, що лежать між сторонами різної довжини, тобто коли дельтоїд є прямокутним.

Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним.

Зовні-біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який є також зовні-описаним.

Зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого прямі, на яких лежать його сторони, є дотичними до певного кола поза чотирикутником.

Гармонійний чотирикутник — це чотирикутник, який можна вписати в коло та добутки довжин протилежних сторін якого рівні.

Для кожної сторони вписаного чотирикутника можна провести пряму, яка буде перпендикулярна цій стороні і проходити через середину протилежної сторони.

Відрізки цих прямих між сторонами називають бівисотами^[3] (або антимедіатрисами, по аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника). Опуклий вписаний чотирикутник має чотири бівисоти (KY, LV, MX та NW), які є конкурентними прямими, тобто перетинаються в одній точці Т — антицентрі чотирикутника^[4]:131[5].

Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін (KM, LN), називаються бімедіанами чотирикутника.

Бімедіани чотирикутника перетинаються в точці G_v — вершинному центроїді чотирикутника (центр тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника).

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був вписаним.

• Опуклий чотирикутник можна вписати тоді й лише тоді, коли чотири перпендикуляри до середин сторін є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці. Ця спільна точка є центром описаного кола^[6].
• Сума протилежних кутів.

  Опуклий чотирикутник ABCD можна вписати тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює180^0[1][6],^[7]:

  ${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ (=180^{\circ }).}$

  Ця теорема є положенням 22 в трактаті Евкліда «Начала»^[8].

Це твердження еквівалентне наступному:

Опуклий чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли кожен його зовнішній кут дорівнює протилежному внутрішньому куту.

Тобто, якщо дві протилежні сторони чотирикутника є антипаралельними^[en] відносно двох інших сторін.

Наслідок:

В термінах тангенсів половинних кутів, це твердження можна записати наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\beta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}=90^{\circ },\\\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}\right)=\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\beta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}\right)=\mathop {\mathrm {tg} } 90^{\circ },\\{\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{1-\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\delta }{2}}\right)}{1-\mathrm {tg} \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\delta }{2}}\right)}}=\infty \end{aligned}}}$

Це означає, що чотирикутник вписано тоді і тільки тоді, коли виконується рівність^[9]: ${\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \mathrm {tg} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\mathrm {tg} \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \mathrm {tg} \left({\frac {\delta }{2}}\right)=1.}$

• Кути між сторонами та діагоналями.

  Ще одна необхідна і достатня умова, щоб опуклий чотирикутник ABCD був вписаним — кут між стороною та діагоналлю повинен дорівнювати куту між протилежною стороною та іншою діагоналлю^{[10][11]:45-46}.

  Тобто, наприклад, ${\displaystyle \angle ABD=\angle ACD.}$

• Теорема Птолемея виражає добуток довжин двох діагоналей p і q вписаного чотирикутника, як суму добутків протилежних сторін^{[12]:25[7][13]:67}:

  ${\displaystyle p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.}$

  Має місце обернена теорема. Тобто, якщо ця рівність виконується для опуклого чотирикутника, тоді він є вписаним в коло.

• Теорема про перетин хорд.

  Якщо дві прямі, одна, що містить відрізок AC, а інша, що містить відрізок BD, перетинаються в точці P, то чотири точки A, B, C, D є конциклічними (тобто, є вершинами вписаного чотирикутника, без урахування порядку вершин), тоді й лише тоді, коли^[14]

  ${\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}$

  Точка перетину P може бути як зовні так і всередині кола. У першому випадку описаний чотирикутник — ABCD, а в другому випадку вписаний чотирикутник — ABDC. Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який P ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це твердження відомо як теорема про перетин хорд, оскільки діагоналі вписаного чотирикутника є хордами.

• Нехай PFG є діагональним трикутником в опуклому чотирикутнику ABCD (точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника, G — точка перетину продовжень сторін AB та DC, F — точка перетину продовжень сторін AD та BC). І нехай ${\displaystyle \omega }$ — коло дев'яти точок трикутника PFG.

  ABCD можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли точка T перетину бімедіан KL та XV чотирикутника ABCD належить цьому колу дев'яти точок.^[7][15][16].

• Точки Паскаля

  Нехай в опуклому чотирикутнику ABCD, E — точка перетину діагоналей, а F — точка перетину продовжень сторін AD та BC. І нехай  ${\displaystyle \omega }$ — коло, діаметром якого є відрізок EF, що формує на сторонах AB та CD точки Паскаля P та Q (див. мал.)

  1. Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q колінеарні з центром O кола ${\displaystyle \omega }$ .
  2. Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q є серединами сторін AB та CD.^[7]

Площа S вписаного чотирикутника зі сторонами a, b, c, d обчислюється за формулою Брахмагупти^[12]:24

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

де півпериметр s = 1/2(a + b + c + d).

Формула є наслідком формули Бретшнайдера для довільного чотирикутника, оскільки протилежні кути є суміжними для вписаного чотирикутника.

Якщо d = 0, то вписаний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до формули Герона.

Формулу Брамагупти можна записати через довжини сторін чотирикутника наступним чином:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8~abcd-2~(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}}$

Вписаний чотирикутник має максимальну площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність довжин сторін. Це ще один наслідок формули Бретшнайдера. Також це можна довести за допомогою математичного аналізу^[17].

Якщо є чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми трьох інших, то вони будуть сторонами для трьох неконгруентних вписаних чотирикутників^[18]:57, які за формулою Брахмагупти мають однакову площу. Зокрема, для сторін a, b, c і d сторона a може бути протилежною будь-якій зі сторін b, c або d.

Площу вписаного чотирикутника з послідовними сторонами a, b, c, d та кутом B між сторонами a і b можна виразити як^[12]:25

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

або^[12]:26

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\varphi }}$,

де ${\displaystyle \varphi }$ — будь-який кут між діагоналями.

За умови, що A не є прямим кутом, площа також може бути виражена як^[12]:26

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\mathrm {tg} {A}.}$

Інша формула така^[19]:83

${\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin {A}\sin {B}\sin {\varphi },}$

де R — радіус описаного кола. Як прямий наслідок цієї формули^[20],

${\displaystyle S\leqslant 2R^{2}}$

де рівність буде, тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.

У вписаному чотирикутнику з послідовними вершинами A, B, C, D і сторонами a = AB, b = BC, c = CD і d = DA, довжини діагоналей p = AC і q = BD можна виразити через довжини сторін як^{[12]:25[21][22]:84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$ та ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$,

що доводить теорему Птолемея

${\displaystyle p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.}$

Відповідно до другої теореми Птолемея^[12]:25[21]

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$,

в тих же позначеннях, що і вище.

Для суми діагоналей маємо нерівність^{[23]:123,#2975}

${\displaystyle p+q\geqslant 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

Рівність справедлива тоді й лише тоді, коли діагоналі мають однакову довжину, що можна довести за допомогою нерівності середнього арифметичного та геометричного.

Більше того^{[23]:64,#1639},

${\displaystyle (p+q)^{2}\leqslant (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

У будь-якому опуклому чотирикутнику дві діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники; у вписаному чотирикутнику протилежні пари цих чотирьох трикутників подібні між собою.

Якщо M і N — середини діагоналей AC і BD, а точки E і F — точки перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони чотирикутника, то^[24] :

${\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|,}$

Якщо діагоналі AC і BD вписаного чотирикутника ABCD перетинаються у точці P, то^[25]

${\displaystyle {\frac {AP}{PC}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Множина сторін, які можуть утворювати вписаний чотирикутник, може бути впорядкована у будь-якій з трьох різних послідовностей, кожна з яких може утворювати вписаний чотирикутник тієї самої площі в одному і тому ж колі (їх площа буде однакова за формулою площі Брахмагупти). Будь-які з цих вписаних чотирикутників мають одну спільну довжину діагоналі^[22]:84.

Для вписаного чотирикутника із послідовними сторонами a, b, c, d, півпериметром s та кутом A між сторонами a та d тригонометричні функції від A задаються формулами^[26]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

Кут φ між діагоналями можна знайти за формулою:^[12]:26

${\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

Якщо продовження протилежних сторін a і c перетинаються під кутом θ, то

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}},}$

де s — півпериметр^[12]:31.

Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і півпериметром s має описане коло радіуса^[21][27]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Цю формулу отримав індійський математик Ватассері Парамешвара^[en] у 15 столітті.

Якщо скористатися формулою Брахмагупти, формулу Парамешвари можна отримати в наступному вигляді:

${\displaystyle 4S\cdot R={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},}$

де S — площа вписаного чотирикутника.

• Японська теорема про вписаний чотирикутник.

  У вписаному чотирикутнику ABCD інцентри M₁, M₂, M₃, M₄ (див. рисунок праворуч) у трикутниках DAB, ABC, BCD, та CDA є вершинами прямокутника.

  Крім того, якщо точки P, Q, R, S є серединами відповідно дуг AB, BC, CD та AD описаного кола, то відрізки PR та QS є паралельними до сторін цього прямокутника і перетинаються в його центрі.^[28]:43-44.

• Сума радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABC та ∆ACD дорівнює сумі радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABD та ∆BCD^[13]:67.

• Також, якщо з'єднати між собою центроїди G_A, G_B, G_C, G_D трикутників ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD, їх центри кіл дев'яти точок N_A, N_B, N_C, N_D, та їх ортоцентри H_A, H_B, H_C, H_D, отримаємо три чотирикутника, що подібні до вихідного чотирикутника ABCD. А чотирикутник H_AH_BH_CH_D крім того є ще і конгруентним (рівним) ABCD.^{[11][28]:43-44}.

  Нехай у вписаному опуклому чотирикутнику ABCD:

  G — точка перетину прямих G_AG_C та G_BG_D,

  Н — точка перетину прямих H_AH_C та H_BH_D.

  O — центр описаного кола.

  Тоді, точки H, G і O лежать на одній прямій і HG:GO = 2:1.

• Наслідок теореми про вписаний кут та теореми про зовнішній кут.

  У вписаному чотирикутнику ABCD з центром описаного кола — O, через P позначимо точку, в якій перетинаються діагоналі AC і BD. Тоді кут APB — це середнє арифметичне кутів AOB і COD.

• Не існує вписаних чотирикутників площа яких є раціональним числом, а сторони є нерівними раціональними числами або в арифметичній, або в геометричній прогресії^[29].      

• Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін, які утворюють арифметичну прогресію, чотирикутник також є зовнішньо-описаним.
• Якщо прямі на яких лежать протилежні сторони вписаного чотирикутника перетинаються в точках E та F, то внутрішні бісектриси кутів в точках E і F — перпендикулярні^[18]:60.
• Узагальненням до теореми Птолемея є: теорема Пурсера^[30], та перша й друга теореми Кейсі.

Антицентр та колінеарність

У вписаному в коло чотирикутнику, чотири його бівисоти перетинаються в одній точці Н. Ця точка називається антицентром чотирикутника.

В опуклому чотирикутнику дві його бімедіани перетинаються в точці G_v — вершинному центроїді чотирикутника, центру тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника

1. Антицентр має властивість бути відображенням центру описаного кола О відносно «вершинного центроїда». Таким чином, у вписаному чотирикутнику центр описаного кола, «вершинний центроїд» та антицентр є колінеарними^[5]:39, тобто, лежать на одній прямій. Крім того вершинний центроїд чотирикутника знаходиться в середині відрізка HO. Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Ейлера.
2. Нехай протилежні сторони AB та CD описаного чотирикутника перетинаються в точці Е. Точки S та Q — середини ціх сторін. Тоді, перпендикуляр, проведений з т Е на пряму SQ, проходить через антицентр H чотирикутника.^[5]:41
3. Нехай центр О описаного кола чотирикутника симетрично відображено відносно його протилежних сторін в точки O₁ та O₂. Тоді пряма O₁O₂ проходить через антицентр H чотирикутника.^[5]:41
4. Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в P, а середні точки діагоналей позначено як M і N, то антицентр Н чотирикутника є ортоцентром трикутника MNP^[5]:39, а вершинний центроїд G_v чотирикутника знаходиться в середині відрізка MN (Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Гауса)
5. Антицентр вписаного чотирикутника є точкою Понселе його вершин.

Центроїд площі G опуклого чотирикутника (в тому числі і вписаного в коло) знаходиться в точці перетину відрізків G_AG_C та G_BG_D, що сполучають центроїди трикутників, на які чотирикутник розділяється своїми діагоналями (∆ABD, ∆BCD, ∆ABC, ∆ACD).

У вписаному чотирикутнику «центроїд площі» G, «центроїд вершин» G_v і точка P перетину діагоналей лежать на одній прямій. Для відстаней між цими точками виконується рівність:^[31]

${\displaystyle PG={\frac {4}{3}}PG_{v}}$

Чотирикутник Брахмагупти^[32] — це вписаний чотирикутник з цілими довжинами сторонами, цілими довжинами діагоналей та цілою площею. Усі чотирикутники Брахмагупти зі сторонами a, b, c, d, діагоналями e, f, площею K і радіусом описаного кола R можна отримати, якщо позбутися знаменників в наступних виразах, що містять раціональні параметри t, u і v:

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним (має перпендикулярні діагоналі), припустимо, що перетин діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжини p₁ та p₂, а іншу діагональ ділить на відрізки довжиною q₁ та q₂. Тоді^{[33]:104. задача 4-23} (перша рівність — це твердження 11 у «Книзі лем» Архімеда)

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

де D — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі — це перпендикулярні хорди кола. З цих рівнянь випливає, що радіус описаного кола R може бути виражений як

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

або, через сторони чотирикутника, як^[4]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

З цього також випливає^[4]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким чином, згідно з теоремою Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі p і q та відстань x між серединами діагоналей як

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}$

Формула для площі S вписаного ортодіагонального чотирикутника через довжини сторін отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея і формули площі ортодіагонального чотирикутника. Результат^[34]:222:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• У вписаному ортодіагональному чотирикутнику антицентр збігається з точкою перетину діагоналей^[4].
• Теорема Брамагупти стверджує, що для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр до будь-якої сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить протилежну сторону навпіл^[4][5]:38
• Якщо вписаний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від центру описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони^[4].
• У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром описаного кола та точкою перетину діагоналей^[4].

У сферичній геометрії сферичний чотирикутник, утворений при перетині чотирьох великих кіл, буде вписаним тоді, і лише тоді, коли суми протилежних кутів однакові, тобто α + γ = β + δ для послідовних кутів α, β, γ, δ чотирикутника^[35]. В одному напрямку ця теорема була доведена І. А. Лекселем у 1786 році^[36]. Лексель показав, що у сферичному чотирикутнику, вписаному в мале коло сфери, суми протилежних кутів рівні, і що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Перша з цих теорем — сферичний аналог плоскої теореми, а друга теорема — їй дуальна, тобто, вона є результатом заміни великих кіл та їх полюсів^[37]. Кіпер та ін.^[38] довели обернену теорему: «Якщо суми протилежних сторін рівні в сферичному чотирикутнику, то для цього чотирикутника існує вписане коло».

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Вписаний чотирикутник

• Вписаний кут
• Описане коло
• Описаний чотирикутник
• Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник
• Теорема Кейсі
• Теорема про метелика
• Степінь точки відносно кола
• Таблиця акордів Птолемея^[en]
• П'ятикутник Роббінса^[en]

• Істер, О.С. (2021). Геометрія: 8 клас. Київ: Генеза. ISBN 978-966-11-1191-1.
• Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2021). Геометрія: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів (вид. 2-ге. переробл.). Харків: Гімназія. ISBN 978-966-474-275-4.
• D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

• Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral [Архівовано 21 червня 2011 у Wayback Machine.]
• Incenters in Cyclic Quadrilateral [Архівовано 30 грудня 2010 у Wayback Machine.] в cut-the-knot
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral [Архівовано 30 грудня 2010 у Wayback Machine.] в cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral [Архівовано 10 грудня 2019 у Wayback Machine.] в Dynamic Geometry Sketches [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.], інтерактивне геометричне креслення.