Olasılık teorisi

Olasılık teorisi ya da ihtimaliyet teorisi rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır.[1] Olasılık teorisinin ana ögeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuç büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.

İstatistik bilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık teorisi, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlaşılabilmesi için gereken temel esasları oluşturur. Bunun yanında, olasılık teorisinin yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir. Örneğin; İstatistiksel Mekanik. Yirminci yüzyılda fizik biliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunların kuantum mekanik bilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.

Tarihçe

Bilinen en eski olasılık ve istatistik hesaplamaları, 8 ve 13. yüzyıllar arasında kriptografi üzerine çalışan Arap matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Halil ibn Ahmed el-Ferahidi (717-786) sesli ve sessiz harflerle olası tüm Arapça kelimeleri listelemek için tarihte ilk defa permütasyon ve kombinasyonun kullanıldığı Şifreleme Mesajları Kitabı'nı yazmıştır. Kindî (801-873), kriptanaliz ve frekans analizi konusundaki çalışmalarında bilinen en erken istatistiksel çıkarımlarda bulunmuştur. İbn Adlan (1187-1268) ise frekans analizi kullanımı için örneklem büyüklüğü üzerine çalışmalar yapmıştır.[2]

Matematiksel olasılık teorisinin tarihsel kökleri 16. yüzyılda Gerolamo Cardano ve 17. yüzyılda Pierre de Fermat ile Blaise Pascal tarafından yapılan şans oyunlarının matematiksel incelemelerine dayanır.

Başlangıçta, olasılık teorisi genellikle ayrık olayları incelemek için geliştirilmiş ve kullanılan yöntemler genellikle tümleşik matematik kurallarına dayandırılmıştır. Fakat giderek matematik analiz görüşleri daha ağır basarak olasılık teorisine sürekli değişkenlerin incelenmesinin de katılması gerektirmiştir. Bu gelişmenin şu andaki en son aşamasının temelleri, Andrey Nikolaevich Kolmogorov tarafından, ölçüm teorisina bağlantılı olan modern olasılık teorisi olarak ortaya çıkartılmıştır. Kolmogorov, Richard von Mises tarafından ortaya atılan örnek uzay kavramlarını ölçüm teorisi kavramları ile birleştirerek 1933'te modern olasılık teorisi için esas olan Kolmogorov aksiyomlarını ortaya atmıştır. Bu gelişme bilim camiası tarafından çabucak, hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık teorisinin ana aksiyom sistemi olarak benimsenmiştir.[3]

İnceleme

Olasılık teorisine girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.

Ayrık olasılık dağılımları

Ayrık olasılık teorisi sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örneğin: Zar atılması, küp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgele yürüyüş olayları.

Klasik tanım: Olasılık teorisi geliştirilmesinin ilk safhalarında, belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelendiği kabul edilmiş ve incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örneğin, incelenecek sorun "tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir" şeklinde sorulursun. Zar yansız olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu için, aranan olasılık

P( 2 veya 4 veya 6 ) =

olarak bulunur.

Modern tanım: Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir küme ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir: . Sonra, içinde bulunan her matematiksel elemana bir olasılık değeri bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinde şu özelliklerin bulunduğu kabul edilir:

Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam (1'e) eşit olur. Bir olay örneklem uzayının herhangi bir altseti olarak tanımlanır. olayının 'olasılık değeri ise şöyle tanımlanır:

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur.

Örnekleme uzayındaki bir noktayı "olasılık" değerine eşleyen fonksiyona, yani fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.

Sürekli olasılık dağılımları

Sürekli olasılık teorisi sürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.

Klasik tanım: Sürekli olasılık hâlleri ile karşılaşınca klasik tanım geçerli olmaz. Bernard'in paradoksu maddesine bakin.

Modern tanım: Eğer örneklem uzayı reel sayılardan oluşursa (yani ), yığmalı dağılım fonksiyonu adı verilen bir fonsksiyonun var olduğu kabul edilir; bu bir rassal değişken olan X için P(X\le x) = F(x)\,</math> ifadesini gösterir yani P(X\le x) = F(x)\,</math> rassal değişkenin X x sayı değerine eşit veya xden daha düşük olması hâlindeki olasılığı gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu şu özellikleri göstermelidir:

  1. monotonik azalma göstermeyen, sağda-sürekli bir fonksiyondur;

Eğer fonksiyonun türevi alınabilirse, rassal değişken X için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu

bulunur.

seti için, rassal değişken Xin seti içinde bulunma olasılığı şöyle tanımlanır:

Eğer bir olasılık yoğunluk fonksiyonu var ise, bu şöyle ifade edilebilir:

Olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece sürekli rassal değişkenler için var olmakta ise de, yığmalı dağılım fonksiyonu içinde değerleri olan (aralıklı rassal değişkenler dahil) tüm rassal değişken için mevcut bulunmaktadır.

Bu kavramlar ve diğer sürekli örneklem uzayları için çoklu boyutlu hâllere de genelleştirilmiştir.

Ölçüm kuramsal olasılık teorisi

Modern olasılık teorisi yaklaşımı ölçüm teorisi kullanılması suretiyle yapılmakta ve bu kuram olasılık uzayında Kolmogorov aksiyomlarına dayandırılmaktadır. Olasılık uzayı üç kısımdan oluşmuştur. Olasılığın bu ölçüm teorisine göre uygulanmasının esas nedeni bu teorisin ayrık ve sürekli değişkenleri birlikte ele alabilmesinden ve aralarındaki farkları kullanılan ölçü ile açıklamasındandır. Bundan başka saf ayrık veya saf sürekli dağılımlar yanında bu iki kategoriye tam uymayan dağılımları da inceleme imkânı sağlamaktadır.

Herhangi bir set verilsin ve bu örneklem uzayı olarak da anılmaktadır. Bu set üzerinde bir sigma-cebiri ile bulunsun; bir ölçüm nin bir olasılık ölçümü olarak adlandırması ancak ve ancak şu koşullar altında mümkün olur:

  1. non-negatifdir;

Eğer bir Borel σ-cebiri ise o hâlde herhangi bir yığmalı dağılım fonksiyonu üzerinde tek ve tek bir olasılık ölçümü bulunur ve bunun aksi önerim de doğrudur. Bu ölçüm ayrık değişkenler için olasılık kütle fonksiyonu ve sürekli değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çakışmaktadır ve böylece ölçüm teorisine bağlı yaklaşım yanıltıcı mantıktan uzaklaştırmaktadır.

σ-cebiri içinde seti için olasılık şöyle tanımlanır:

Burada entegrasyon tarafından ortaya çıkartılan ölçüye göredir.

Temel Prensipler

Belirli bir olay A için olasılık 0 ile 1 arasında değişen bir sayı ile temsil edilir. Hiç olanaksız bir olay için olasılık 0 olur ve kesinlikle olacak bir olayın olasılığı 1 olur. Bazı istatistikçiler bu uçsal olasılık değerlerinin sadece teorik olduğunu iddia etmektedirler çünkü kabul ettikleri olasılık açıklaması deneylemelerle limitte göresel çokluluk (relatif frekans) değerine dayanır. Diğer Bayes-tipi, özellikle subjektif, olasılık açıklamasına göre bu uçsal olasılık değerlerini sübjektif olarak düşünmek ve olaylara bu değerleri koymak imkân dahilindedir.

Bazı temel özellikler
Olay Olasılık
A olayı olması için olasılık
A olayı olmaması için olasılık
A veya B olması için olasılık
A ve B olması için olasılık
A verilmiş B olması (B koşullu A)

Olasılık dağılımları

Bazı rassal değişkenler olasılık teorisi içinde daha sık olarak isimleri geçmektedir; çünkü bu değişkenler birçok doğal veya fiziksel süreçleri belirlemektedirler veya özellikle çıkarımsal istatistikte çok öneme haizdirler. Bunun için bu tür değişkenler için olasılık dağılımları olasılık teorisi içinde özel önem taşımaktadırlar.

Temel ayrık olasılık dağılımları listesi şöyle verilebilir:

Temel sürekli olasılık dağılımları listesi şöyle verilebilir:

Rassal değişkenlerin yakınsaması

  • Olasılık teorisi içinde rassal değişkenler in yakınsama kavramı birkaç değişik şekilde tanımlanır. Aşağıdaki listede bu değişik tanımlar tanımın geçerlilik gücüne göre sıralanmıştır. Bu sıralamaya göre sıranın içindeki herhangi bir tanım daha önce verilmiş olan tüm tanımları da içinde kapsamaktadır.
  • Dağılım içinde yakınsama: Bir seri rassal değişken olan , rassal değişkenine dağılım içinde yakınsama göstermesi, ancak her bir X_i rassal değişkeni için yığmalı dağılım fonksiyonu olan fonksiyonlarının in yığmalı dağılım fonksiyonu olan ye yakınsama göstermesi hâlinde ortaya çıkar. Burada sürekli bir fonksiyondur.
En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:
  • Zayıf yakınsama: Bir seri rassal değişken olan rassal değişkenine zayıf yakınsama gösterirlerse, her ε > 0 için

olur. Zayıf yakınsama 'olasılık içinde yakınsama olarak da bilinmektedir.

En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:
  • Güçlü yakınsama: Bir seri rassal değişken olan rassal değişkenine güçlü yakınsama gösterirlerse

ifadesi gerçekleşir. Güçlü yakınsama hemen hemen kesinlikle yakınsama olarak da isimlendirilir.

En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:

Güçlü yakınsamanın bir zayıf yakınsamanın daha güçlü bir şekli olduğu gerçeğinin sezilmesi kolaydır ve her iki hâlde de rassal değişkenler , ile artan bir korelasyon göstermektedirler. Ancak dağılım için yakınsama hâlinde, rasssal değişkenlerin gerçekleşen değerlerinin gerçekte yakınsama göstermeleri gerekli değildir ve bunların arasındaki herhangi bir korelasyonun hiçbir pratik önemi bulunmaz.

Büyük sayılar yasası

Yaygın olan bir sezgiye göre eğer yansız olan bir madeni para birkaç kere havaya atılıp yazı-tura sonuçları kayıt edilirse, sonuçların kabaca yarısı yazı olacak ve kalan yarısı da tura olacaktır. Üstelik, madeni parayı daha da çok defa havaya atıp sonuç kayıt edildikçe giderek yazı sonuçları sayısının tura sonuçları sayısına oranının gittikçe daha çok bire yaklaştığı gözümlenecektir. Bu sezgi ile geliştirilen bu düşünce prensibine istatistik bilimde daha formel bir şekil verilmekte ve bunu büyük sayılar yasasi olarak isimlendirilmektedir. Bu dikkate değerdir; çünkü bu yasa olasılık teorisinin hiçbir yerinde, bu teorisin temel taşdır şeklinde bir bahis görmemektedir; fakat bu yasa olasılık teorisi temelinden bir teorem olarak geliştirilip ortaya çıkarılmaktadır. Bununla beraber, teorik olarak elde edilen olasılıkları, pratik reel hâllerde gerçek olarak ortaya çıkan çokluklara (frekanslara) bağladığı için, bu yasa istatistik teorisinin tarihinin içinde çok önemli bir orta direk taşı olarak kabul edilmektedir.[4]

Büyük sayılar yasasına göre örneklem ortalaması, yani bağımsız ve birbiri ile sonsuz olmayan beklenen değeri olan aynı bir dağılım gösteren rassal değişkenler, limitte teorik beklenen değere (yani ya) yaklaşılık gösterirler. Yaklaşıklık gösteren rassal değişkenlerin gösterdikleri değişik şekillere göre bu yasa iki şekilde matematik olarak ifade edilebilir:

Güçlü yasa:
Zayıf yasa:

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ "Probability theory, Encyclopaedia Britannica". 15 Nisan 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Nisan 2008. 
  2. ^ Broemeling, Lyle D. (1 Kasım 2011). "An Account of Early Statistical Inference in Arab Cryptology". The American Statistician. 65 (4). ss. 255-257. doi:10.1198/tas.2011.10191. 
  3. ^ ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). 5 Şubat 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Nisan 2008. 
  4. ^ "Arşivlenmiş kopya". 26 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Nisan 2008. 

Bibliyografya

  • Billingsley, P., (1995) Probability and Measure, 3ncu ed., John Wiley, New York
  • Gut, A., (2005) Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
  • Jeffreys, H., (1939) The Theory of Probability
  • Kolmogorov, A.N., (1933) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung.
  • Laplace, P.S., (1812) Theorie Analytique des Probabilités.
  • Nelson, E., (1987) Radically Elementary Probability Theory

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. Entalpi neutralisasi (ΔHn) adalah perubahan entalpi saat asam dan basa mengalami reaksi netralisasi yang membentuk garam dan air. Entalpi ini didefinisikan sebagai energi yang dikeluarkan selama pembentukan satu mol air. Saat reaksi dilakukan dalam ko...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Mirko MessnerNama asalŠtefan Miroslav MessnerLahir16 Desember 1948 (umur 75)Slovenj Gradec, Republik Sosialis Slovenia (sekarang Slovenia)KebangsaanAustriaAlmamaterStudi Slavia, Universitas Wina Mirko Messner Ketua Partai Komunis Austria (K...

 

Polish Catholic priest The ReverendAntoni KlawiterPortrait of Antoni KlawiterChurchCatholic ChurchOrdersOrdination1859Personal detailsBornNovember 12, 1836Chojnice, Kingdom of PrussiaDiedSeptember 30, 1913(1913-09-30) (aged 76)Mikado, SaskatchewanNationalityAmericanDenominationRoman Catholic Antoni Klawiter, the Roman Catholic and, afterward, independent Polish Catholic priest, was born in Chojnice, in modern Poland, on November 12, 1836. The scholarly consensus is that he was the son of...

Election 1853 Vermont gubernatorial election ← 1852 September 6, 1853 (1853-09-06) 1854 →   Nominee John S. Robinson Erastus Fairbanks Lawrence Brainerd Party Democratic Whig Free Soil Electoral vote 120 104 7 Popular vote 18,142 20,849 8,291 Percentage 38.5% 43.9% 17.6% Governor before election Erastus Fairbanks Whig Elected Governor John S. Robinson Democratic Elections in Vermont Federal government Presidential elections 1792 1796 1800 18...

 

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

Northrop Grumman E-10 MC2A sebagai pesawat militer multi-peran sayap rendah (low wing) rencana untuk menggantikan Boeing 707 berbasis E-3 Sentry, E-8 Joint STARS, dan pesawat RC-135 Rivet Joint dalam pelayanan AS. Hal ini didasarkan pada pesawat komersial 767-400ER. Pada tahun 2003, Northrop Grumman, Boeing, dan tim Raytheon MC2A dianugerahi kontrak $ 215.000.000 pre-SDD (Pengembangan Sistem dan Demonstrasi) untuk pengembangan pesawat. MC2A adalah singkatan dari Multi-Sensor Command and Contr...

Third President of Lebanon (1902–1973) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Fouad Chehab – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2020) (Learn how and when to remove this template message) Fouad Chehabفؤاد شهابChehab in 19613rd President of LebanonIn office23 September 195...

 

Cet article est une ébauche concernant la mer. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Consultez la liste des tâches à accomplir en page de discussion. Répartition des détritus dans un système de dépôt. Les éventails abyssaux, également connus sous le nom d'éventails sous-marins, de deltas sous-marins et de cônes sous-marins, sont des structures géologiques sous-marines en forme de cône ass...

 

1968 1978 Élections législatives françaises de 1973 490 députés de l'Assemblée nationale(majorité absolue : 246 sièges) 4 et 11 mars 1973 Corps électoral et résultats Votants au 1er tour 23 769 326   81,24 %  1,2 Votants au 2d tour 23 456 032   81,89 % Union des républicains de progrès – Pierre Messmer Liste Union des démocrates pour la RépubliqueFédération nationale des républicains indépendantsCentre démocratie...

Cet article concerne le métier du vêtement. Pour l'industrie en général, voir Designer. Paul Signac, Deux stylistes, rue du Caire (vers 1885-1886), Zurich, Fondation et Collection Emil G. Bührle. Un styliste ou créateur de mode est une personne chargée de dessiner un ou plusieurs vêtements (pour alors former une collection) ; il effectue du stylisme. Le styliste peut également travailler sur-mesure (à la demande du client). Le styliste peut travailler en équipe ou seul. H...

 

Generic Dutch term for administrative divisions In the Netherlands, the term public body (a literal translation from the Dutch term openbaar lichaam) is the general denomination for administrative divisions within the Dutch state, such as the central government, a province, a municipality or a water board. These types of political entities are defined by the Constitution of the Netherlands.[1] In addition, Article 134 of the constitution provides for the definition of other public bod...

 

SMK Al Asror SemarangSMK Al Asror SemarangInformasiNama latinAl Asror Vocational High SchoolDidirikan2015AkreditasiB (89)Nomor Pokok Sekolah Nasional69896715Kepala SekolahM. Busrol Karim, S.Pd.I.,S.Kom.Jumlah kelas8Jurusan atau peminatan1. Teknik Pendingin dan Tata Udara 2. Tata BusanaRentang kelas10 sampai dengan 12Kurikulum2013Jumlah siswa250StatusSwastaAlamatLokasiJl. Legoksari Raya No. 03 Patemon Gunung Pati, Semarang, Jawa Tengah, IndonesiaTel./Faks.024 8507908Situs&#...

British army officer The Right HonourableThe Lord SomersKCMG, DSO, MCAdministrator of the CommonwealthIn office2 October 1930 – 21 January 1931MonarchGeorge VPreceded byThe Viscount Stonehaven(as Governor-General)Succeeded bySir Isaac Isaacs(as Governor-General)16th Governor of VictoriaIn office28 June 1926 – 23 June 1931MonarchGeorge VPremierJohn AllanEdmond HoganWilliam McPhersonPreceded byLord StradbrokeSucceeded byLord Huntingfield Personal detail...

 

Formalism of first-order logic A formula of the predicate calculus is in prenex[1] normal form (PNF) if it is written as a string of quantifiers and bound variables, called the prefix, followed by a quantifier-free part, called the matrix.[2] Together with the normal forms in propositional logic (e.g. disjunctive normal form or conjunctive normal form), it provides a canonical normal form useful in automated theorem proving. Every formula in classical logic is logically equiva...

 

Intercollegiate sports teams of the University of Oregon Athletic teams representing University of Oregon Oregon DucksUniversityUniversity of OregonConferencePac-12 (primary)Big Ten (beginning August 2nd, 2024)Mountain Pacific Sports Federation (indoor track & field)NCATA (acrobatics and tumbling)NCAADivision I (FBS)Athletic directorRob MullensLocationEugene, OregonVarsity teams18Football stadiumAutzen StadiumBasketball arenaMatthew Knight ArenaBaseball stadiumPK ParkSoftball stadiumJane ...

ThistedThistedNomination district constituencyfor the FolketingLocation of Thisted within North JutlandLocation of North Jutland within DenmarkMunicipalitiesMorsø ThistedConstituencyNorth JutlandElectorate47,441 (2022)[1]Current constituencyCreated1849 (as constituency)[2]1920 (as nomination district) Thisted nominating district is one of the 92 nominating districts that exists for Danish elections following the 2007 municipal reform.[3][4][5] It consi...

 

Mosque in Cairo, Egypt Mosque of Ulmas al-HajibExterior of the mosque, with mausoleum dome (left), entrance portal and minaret (right)ReligionAffiliationIslamLocationLocationCairo, EgyptGeographic coordinates30°2′7″N 31°15′17″E / 30.03528°N 31.25472°E / 30.03528; 31.25472ArchitectureTypeMosque, mausoleumStyleMamlukFounderSayf ad-Din Ulmas al-HajibGroundbreaking1328–1329Completed1329–1330SpecificationsDome(s)1Minaret(s)1 The Mosque of Ulmas al-Hajib or f...

 

Bagian barat Kekaisaran Akhemenitah, dengan wilayah-wilayah Mesir.[1][2][3][4] Penaklukan Mesir pertama oleh Akhemeniyah terjadi pada 525 SM, mengarah ke pembentukan Dinasti Mesir ke-27, juga dikenal sebagai Satrapy Mesir Pertama (bahasa Persia Kuno: Mudrāya[5]). Mesir kemudian menjadi sebuah provinsi (satrapy) di Kekaisaran Persia Akhemeniyah hingga 404 SM sambil tetap mempertahankan tradisi dan posisi royalti.[6] Penaklukan dipimpin oleh ...

Western tradition of summoning a spirit, demon, god This article is about supernatural conjuration. For other uses, see Evocation (disambiguation). Summon and Summoning redirect here. For the legal document issued by a court, see Summons. For other uses, see Summon (disambiguation) and Summoning (disambiguation). Part of a series onMagic Background History of magic Magic and religion Psychological theories of magic Forms Apotropaic magic Black magic Ceremonial magic Chaos magic Divination Evo...

 

American political scientist (1902–1978) Harold LasswellBornFebruary 13, 1902Donnellson, Illinois, U.S.DiedDecember 18, 1978 (aged 76)New York City, U.S.Academic backgroundAlma materUniversity of Chicago (Ph.D.)ThesisPropaganda Technique in the World WarInfluencesHavelock Ellis, Sigmund Freud, Karl Marx, Theodore ReikAcademic workDisciplinePolitical science, communications theoryInstitutionsUniversity of Chicago, Yale University, City University of New York, Temple University School of LawN...