Analiz matematiğin önemli ana dallarından biridir. Limit, sonsuz diziler, seriler, süreklilik, türev, integral ve ölçü gibi kavramlar üzerine kurulmuştur.^[1][2]

Bu kavramlar, genellikle, gerçel ve karmaşık sayılar ve bu sayılardan oluşan kümeler üzerinde tanımlı fonksiyonlar bağlamında incelenir. Modern analiz, yine analizin temel kavramlarını ve tekniklerini içeren ve analize giriş sayılabilecek kalkülüsten evrilmiştir.

Analiz, resmen 17. yüzyılda ve özellikle Bilimsel Devrim sırasında gelişti^[3]; ancak, analizdeki fikirlerin öncülerinin izi bu yüzyıldan önceki matematikçilerin çalışmalarında bulunabilir. Özellikle, antik Yunan matematiğinin erken dönemlerinde, bazı sonuçlar apaçık olmasa da örtük olarak bulunabilir. Örneğin, sonsuz bir geometrik toplam ve Zenon'un dikotomi paradoksu örtük olarak mevcuttur.^{[4] [not 1]} Daha sonra, Knidoslu Ödoksus ve Arşimet gibi Yunan matematikçiler, bölgelerin alanını ve katıların hacmini hesaplamak için tüketme yöntemini kullandıklarında limit ve yakınsama kavramlarını daha açık, ancak gayrı resmi olarak kullandılar.^[5]Sonsuz küçüklerin açık kullanımı, 20. yüzyılda Arşimet'in yeniden keşfedilen bir eseri olan Mekanik Teoremler Yöntemi'nde görülür..^[6] Diğer taraftan, Asya'da, Çinli matematikçi Liu Hui, bir dairenin alanını bulmak için 3. yüzyılda tüketme yöntemini kullandı.^[7] Caynizm kaynaklarına göre ise, Hinduların, MÖ 4. yüzyıla kadar giden erken bir tarihte, aritmetik ve geometrik serilerin toplamına dair formüllere sahip olduğu anlaşılıyor.^[8] Ācārya Bhadrabāhu, MÖ 433'te Kalpasūtra adlı eserinde geometrik bir serinin toplamını kullanmıştır.^[9]

Zu Chongzhi, 5. yüzyılda bir kürenin hacmini bulmak için, daha sonra Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak, bir yöntem oluşturdu.^[10] 12. yüzyılda, Hintli matematikçi Bhāskara II sonsuz küçükleri kullandı ve günümüzde Rolle teoremi olarak bilinen sonucu kullandı.^[11]

14. yüzyılda Sangamagramalı Madhava, sinüs, kosinüs, tanjant ve arktanjant gibi fonksiyonların günümüzde Taylor serisi olarak adlandırılan sonsuz seri açılımlarını geliştirdi.^[12] Trigonometrik fonksiyonların Taylor serilerini geliştirmesinin yanı sıra, bu serilerin kesilmesinden kaynaklanan hata terimlerinin büyüklüğünü de tahmin etti ve bazı sonsuz seriler için rasyonel bir yaklaşım verdi. Kerala Astronomi ve Matematik Okulu'ndaki takipçileri, Madhava'nın çalışmalarını 16. yüzyıla kadar ilerlettiler.

Analizin modern temelleri 17. yüzyıl Avrupa'sında atılmıştır.^[3] İlk adımlar, Fermat ve Descartes'ın modern kalkülüsün öncüsü olan analitik geometriyi geliştirmesiyle başlamıştır. Fermat'nın eşitlik yöntemi, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını ve eğrilerin teğetlerini belirlemesine olanak sağlamıştır.^[13] Descartes'ın 1637'de kartezyen koordinat sistemini tanıtan La Géométrie'yi yayınlaması, analizin kuruluşu olarak kabul edilir. Birkaç on yıl sonra Newton ve Leibniz, 18. yüzyıl boyunca devam eden uygulamalı çalışmaların teşvikiyle, varyasyonlar hesabı, adi ve kısmi diferansiyel denklemler, Fourier analizi ve üretim fonksiyonu gibi analiz konularına dönüşen sonsuz küçükler hesabını bağımsız olarak geliştirdiler.^{[not 2]} Bu dönemde, kalkülüs teknikleri ayrık problemlere sürekli problemlerle yaklaşım için uygulandı.

18. yüzyılda Euler, matematikteki fonksiyon kavramını ortaya koydu.^[14] Gerçel analiz, Bernard Bolzano 1816'da sürekliliğin modern tanımını ortaya koyduğunda bağımsız bir konu olarak ortaya çıkmaya başladı^[15]; ancak, Bolzano'nun çalışması 1870'lere kadar yaygın olarak bilinmedi. 1821'de Cauchy, özellikle Euler tarafından daha önceki çalışmalarda yaygın olarak kullanılan cebirin genelliği ilkesini reddederek kalkülüsü sağlam bir mantıksal temele oturtmaya başladı. Bunun yerine Cauchy, kalkülüsü geometrik fikirler ve sonsuz küçükler açısından formüle etti. Bu nedenle, Cauchy'nin süreklilik tanımı, ${\displaystyle y}$'deki sonsuz küçük bir değişime karşılık gelmesi için ${\displaystyle x}$'teki sonsuz küçük bir değişimi gerektiriyordu. Ayrıca bugün Cauchy dizisi denilen kavramı ortaya koydu ve karmaşık analizin örgün teorisini başlattı. Poisson, Liouville, Fourier ve diğerleri kısmi diferansiyel denklemleri ve harmonik analizi üzerine çalıştılar. Bu matematikçilerin ve Weierstrass gibi diğerlerinin katkıları, (ε, δ)-limit tanımını geliştirerek modern analiz alanını kurdu. Aynı zamanlarda, Riemann integral teorisini tanıttı ve karmaşık analizde önemli ilerlemeler kaydetti.

19. yüzyılın sonlarına doğru, matematikçiler kanıt olmaksızın gerçel sayıların süreyinin varlığını varsaydıklarından endişe duymaya başladılar. Dedekind daha sonra gerçel sayıları, irrasyonel sayıların resmen tanımlandığı ve rasyonel sayılar arasındaki "boşlukları" doldurmaya yarayan Dedekind kesimleriyle oluşturdu ve böylece tam bir küme yarattı ki bu da Simon Stevin tarafından ondalık açılımlar aracılığıyla daha önce geliştirilmiş olan gerçel sayılar süreyini yarattı. O sıralarda, Riemann integralinin teoremlerini iyileştirme girişimleri, gerçek fonksiyonların süreksizlik kümesinin "büyüklüğünün" incelenmesine yol açtı.

Ayrıca, yaygın olarak "canavarlar" olarak bilinen çeşitli patolojik nesneler (örneğin hiçbir yerde sürekli olmayan fonksiyonlar, sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonlar ve uzayı dolduran eğriler) araştırılmaya başlandı. Bu bağlamda, Jordan kendi ölçü teorisini geliştirdi, Cantor günümüzde bilinen adıyla, naif küme teorisini geliştirdi ve Baire, Baire kategori teoremini kanıtladı. 20. yüzyılın başlarında, kalkülüs aksiyomatik bir küme teorisi kullanılarak resmîleştirildi. Lebesgue ölçü teorisini büyük ölçüde geliştirdi ve günümüzde Lebesgue integrali olarak bilinen kendi integral teorisini tanıttı ve bu teorinin Riemann'ınkine göre büyük bir gelişme olduğu görüldü. Hilbert, integral denklemlerini çözmek için Hilbert uzaylarını tanımladı. Normlu vektör uzayı fikri hissediliyordu ve 1920'lerde Banach fonksiyonel analizi yarattı.

Matematikte, bir metrik uzay, elemanları arasında uzaklık kavramının (metrik olarak adlandırılır) tanımlandığı bir kümedir.

Analizin çoğu bazı önemli metrik uzaylarda yapılır. En yaygın kullanılanlar gerçel sayılar doğrusu, karmaşık düzlem, Öklid uzayı, diğer vektör uzayları ve tam sayılardır. Metrik içermeyen analiz örnekleri arasında ölçü teorisi (uzaklıktan ziyade büyüklük ölçüsü tanımlar) ve fonksiyonel analizin bir kısmı (uzaklık kavramına ihtiyaç duymayan topolojik vektör uzaylarını inceler) bulunur.

Gerçel analiz ya da daha geleneksel adıyla "gerçel değişkenli fonksiyonlar teorisi", gerçel sayılarla ve gerçel değişkenlere bağlı ve gerçel değerler alan fonksiyonlarla ilgilenen bir analiz dalıdır.^[16][17] Özellikle, gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle ilgilenir; bunlara, gerçel sayı dizilerinin yakınsaklığı ve limitleri, gerçek sayıların hesabı ve gerçel değerli fonksiyonların sürekliliği, türevliliği ve ilgili özellikleri dahildir.

Karmaşık analiz, kompleks analiz ya da daha geleneksel adıyla "karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi" olarak bilinir, karmaşık sayıların fonksiyonlarını inceleyen analiz dalıdır.^[18]

Cebirsel geometri, sayılar teorisi, uygulamalı matematik dahil olmak üzere matematiğin birçok dalında; ayrıca hidrodinamik, termodinamik, makine mühendisliği, elektrik mühendisliği ve özellikle kuantum alan teorisi dahil olmak üzere fiziğin değişik alanlarında faydalıdır.

Karmaşık analiz özellikle karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla (veya daha genel olarak meromorf fonksiyonlarla) ilgilenir. Herhangi bir analitik fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları Laplace denklemini sağlamak zorunda olduğundan, karmaşık analiz fizikteki iki boyutlu problemlere yaygın olarak uygulanabilir.

Fonksiyonel analiz, vektör uzaylarıyla ve bu uzayların üzerinde tanımlı operatörlerle uğraşan bir analiz dalıdır. Kökleri fonksiyon uzayları kuramının geliştirilmesine; hatta diferansiyel ve integral denklemlerinin çalışılmasına kadar gitmektedir. Özelde mesela Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin çalışılmasında da kullanılmıştır. Çağdaş anlamda, fonksiyonel analiz bir topolojiye sahip vektör uzaylarının çalışılmasında, özellikle sonsuz boyutlu uzaylarda, gözükmektedir. Tanımdan yola çıkılarak fonksiyon analizinin sonlu boyutlu uzaylar kuramını da içerdiği düşünülebilir; ancak bu uzayları bir topolojisi olmadan inceleyen alan doğrusal cebirdir. Fonksiyonel analizin önemli bir işlevlerinden biri de ölçü, integral ve olasılık kuramı gibi genel kuramları sonsuz boyutlu uzaylara yaymaktır ki bu disiplinin özel adı sonsuz boyutlu analizdir.

1. ^ Kesin olarak konuşmak gerekirse, paradoksun amacı sonsuz toplamın var olduğunu reddetmektir.
2. ^ Sonsuz küçükler hesabının fikirleri ilk çağda Mısır, Yunan ve Çin dönemlerinde ve orta çağda Hayyam'ın hesaplarında görülebilir.