Rođen je 1829. godine u Zemunu gde je završio srpsku i nemačku školu. U Sremskim Karlovcima je pohađao pet razreda gimnazije, a šesti je završio u Prvoj muškoj gimnaziji u Beogradu. Pored Filozofskog fakulteta koji je završio u Beogradu, dve godine je pohađao i Mudroslovno odeljenje Pravnog fakulteta Liceja.
Sklopio je novembra 1857. godine kontrakt (ugovor) za rad u beogradskoj gimnaziji.[2] Tokom svog službovanja u Beogradu (od 1857/1858; 1872), Kragujevcu, Požarevcu, Zaječaru, Negotinu i Šapcu (1876), predavao je nemački i srpski jezik, srpsku istoriju, istoriju srpske književnosti, crkveno pevanje i bio dirigent učeničkog hora Kragujevačke polugimnazije (od 1858).[1]
Pogrešno se smatra da je Kosta u mladosti je bio prisni prijatelj pesnika Branka Radičevića. Reč je medicinaru zvanom "Prota"[3] istog imena i prezimena, sinu beogradskog prote Vujića, a koji je inače umro kao mlad lekar, od tuberkuloze.[4] Bio je pomoćnik urednika i urednik (1860-1865) „Srpskih novina“ Miloša Popovića, objavivši u njima veliki broj priloga.[5] Jedno vreme sarađivao je i u časopisu „Škola“ Milana Đ. Miličevića.[1] Preveo je knjigu "Istorija Đorđa Kastriotića".
Kada je predavao srpski jezik u Beogradu, jedan bivši učenik u svojim uspomenama je ostavio beleške o njemu, kao svom profesoru. Bavio se njegovim likom i odlikama. Bio je Kosta viđen spolja: "omalen, šiškav, trbušast, zarastao u salo, širokih usta, koja su pokrivali, široki prosedi brkovi požuteli ispod nosa od duvana." A kada je reč o njegovom karakteru: "Inače je Vujić, valja istinu reći bio čovek dobričina i nezlobiv." Kao nastavniku: "Kosta Vujić nije imao velikih profesorskih ambicija. Bio je popustljiv prema učenju i uspehu svojih đaka, samo ako ga oni ne sekiraju. Ali je zato bio fenomenalni gurman."[6]
Bio je boem i veliki gurman i svakodnevno je ručavao u četiri gostionice. Supu je jeo kod „Ruskog cara“; govedinu kod „Kolarca“, varivo kod „Balkana“ a pečenje uz čašu vina kod „Pariza“[7] ili u "Velikoj Srbiji".
Po vlastitoj želji je penzionisan aprila 1889. godine, kao predavač u Drugoj beogradskoj gimnaziji.[8] Te godine je primio orden Sv. Save IV stepena.[8] Profesor Kosta Vujić koji se nikada nije oženio, a bio poznat po dobrom apetitu, umro je jednog popodneva u svom stanu. Policija je izvestila beogradsku opštinu i izvršen je popis njegovih stvari "pošto umrli nigde nikog nema".[9] Sahranjen je 1909. godine na Novom groblju, u grobnici koju je za života podigao.
Čuveni učenici profesora Koste Vujića
Profesor Kosta Vujić je bio blizak sa svojim đacima. Jedna od njegovih rečenica pri kraju službovanja u gimnaziji je bila:
Nešto mi govori da će se u budućnosti o meni znati samo po tome što sam bio profesor sjajnih budućih imena
Čitajući tekst akademika Mihaila Petrovića – Mike Alasa, koji je povodom stogodišnjice Prve muške gimnazije objavio Jež 1938. godine, Milovan Vitezović se upustio u istraživanje te slavne generacije. Tako je nastao scenario za TV dramu 1971. godine, a 1983. godine roman pod nazivom Šešir profesora Koste Vujića.
