PROFILPELAJAR.COM

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Spisak brojeva — Celi brojevi ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Kardinalni broj	−1, minus jedan, negativno jedan
Redni broj	−1. (minus prvo)
Arapski	−١
Kineski broj	负一，负弌，负壹
Bengalski	−১
Binarni (bajt)
S&M:	1000000012
2sC:	111111112
Heks (bajt)
S&M:	0x10116
2sC:	0xFF16

U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.^[1]^[2] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.^[3]

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je e^{i $π$} = −1.^[4]^[5]^[6]

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.^[7]

Algebarska svojstva

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za x koje je realni broj važi

x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0

gde se koristi činjenica da je svako realno x puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,

0, 1, −1, i, i −i u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

x+(-1)\cdot x=0\,

tako da je (−1) · x, ili −x, aritmetička inverzija od x.

Kvadrat od −1

Kvadrat od −1, tj. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti jednačinom

0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije −1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)

Druga jednakost sledi iz činjenice da je 1 multiplikativni identitet. Međutim, sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

(-1)\cdot (-1)=1

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1

Iako nema realnih kvadratnih korena od −1, kompleksni broj i zadovoljava i² = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je −i.^[8] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina x² = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Eksponencijacija do negativnih celih brojeva

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji x⁻¹ = 1/x, znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon x^ax^b = x^{(a + b)} za realne brojeve a i b.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja x⁻¹ kao multiplikativne inverzne vrednosti od x.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, f⁻¹(x) je inverzna funkcija od f(x), ili sin⁻¹(x) je notacija za arcsin funkciju.

Računarska reprezentacija

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće −1 kao binarni niz „11111111” ili „FF” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od n jedinica predstavlja 2ⁿ − 1, najveću moguću vrednost koju n bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznad predstavlja 2⁸ − 1 = 255.

Programski jezici

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), −1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada −1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi još

Manelausova teorema

Reference

^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5. izd.), Cengage Learning, str. 40, ISBN 9781133710790
^ Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Basic Algebra for College Students (na jeziku: енглески). Houghton Mifflin. str. 54. ISBN 978-0-395-20656-0. »...to take the additive inverse of the member, we change the sign of the number.«
^ „Additive Inverse”. www.learnalberta.ca. Pristupljeno 2020-08-27.
^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Pristupljeno 7. 9. 2018.
^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035 
^ Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Arhivirano (PDF) iz originala 2021-06-23. g.
^ Jayant V. Deshpande. Mathematical analysis and applications. ISBN 978-1-84265-189-6.
^ „Ask Dr. Math”. Math Forum. Pristupljeno 14. 10. 2012.