У математици, ако функција ƒ пресликава скуп A на скуп B, онда је њена инверзна функција ƒ^-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функција ${\displaystyle f\circ f^{-1}}$ пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(x) = 1,6 · x), онда њена инверзна функција g = ƒ^-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (g(x) = x / 1,6).

1. Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
2. С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ^-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

Нпр. фукција ${\displaystyle f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, а не читав кодомен ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Иста функција, али дефинисана као ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ има инверзну функцију ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$. Функција ${\displaystyle f(x)=x^{3}\,\!}$ има инверзну, а ${\displaystyle f(x)=x^{3}-x\,\!}$ нема јер није инјективна (${\displaystyle f(0)=f(1)=0\,\!}$).

Нека је id функција идентитета id_X = x. Тада важи

${\displaystyle {\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id_{X}\\f^{-1}\circ f=id_{Y}\end{aligned}}}$

односно ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f\,\!}$.

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$

Функција идентитета је инверзна сама себи:

${\displaystyle id_{X}^{-1}=id_{X}\,\!}$

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву ${\displaystyle y=x\,\!}$.

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима ${\displaystyle f(x)\neq 0\,\!}$ важи следећа формула за извод инверзне функције:

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.}$

Важно је уочити да ^-1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(x)}}}$ се записује као ƒ(x)^-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ⁽ⁿ⁾ означава n-ти извод функције:

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}$

У тригонометрији, из историјских разлога, ${\displaystyle \sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!}$ а не ${\displaystyle \sin(\sin x)\,\!}$, али је ${\displaystyle \sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!}$, а не ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}}$. Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена (${\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x}$). .

• Теорија скупова
• Функција
• Списак инверзних функција
• Инјективно пресликавање
• Сурјективно пресликавање
• Бијективно пресликавање