Рођен је 17. марта1916. године у селу Горњи Сјеничак, код Вргинмоста. Потиче из веома сиромашне сељачке породице. Због великог сиромаштва није могао завршити ни основну школу, јер је морао чувати стоку у другим селима, код имућнијих људи. Поред чувања стоке, обављао је и тешке физичке послове. После одслужења војног рока, радио је извесно време као радник на циглани. Потом је отишао из у Тузлу, где се запослио у тузланској солани. Овде је постао члан УРС-ових синдиката и учествовао у акцијама радничког покрета. Године 1940. примљен је у чланство Комунистичке партије Југославије.
После Априлског рата и окупације Краљевине Југославије вратио се у родни крај. Већ у мају 1941. године, повезао се с партијском организацијом свога села. Активно је учествовао у припреми устанка у северном делу Кордуна. Налазио се у првој групи устаника, а у септембру 1941. године постао је командир Партизанског одреда „Сјеничак“, који је деловао на подручју Удбина-Сјеничак, према Скакавцу, Ковачевцу, Ласињи, Карловцу и Вргинмосту. Посебно се истакао у борбама с усташама и домобранима, децембра 1941. и јануара 1942. године, када су партизани успели да заштите 15.000 жена, деце и стараца, и осигурају им пут у Петрову гору.
У јануару 1942. године Милош је постао командир Треће чете Четвртог кордунашког партизанског батаљона. У фебруару је завршио први официрски курс, партизанске официрске школе у Горњем Будачком, на Кордуну и тада је постављен за командира чете Првог ударног батаљона Првог кордунашког партизанског одреда. У лето 1942. године истакао се у борби за Јастребарско, и у спашавању више од 700 српске деце с Козаре, Кордуна и Баније из усташког логора. У борбама у Словенији, Милош је био тешко рањен, а после оздрављења поново се вратио у своју јединицу.
Године 1943. постао је командант Четвртог батаљона Прве кордунашке бригаде, а затим заменик команданта и командант бригаде. Заједно са својим батаљоном спречавао је, на путу Драганић-Крашић, почетком 1943. године, нападе непријатељских тенкова и јаких пешадијских снага које су ишле у помоћ опкољеном усташком гарнизону у селу Крашићу. Иако је био лакше рањен, остао је на положају и с бомбашима јуришао на тенкове. Усташе нису успеле да се извуку из окружења и у њему је заробљено око 200 усташа, а више од 300 је погинуло током борби.
Милош Кљајић се истако и у нападу на четнике и Италијане у Лици, на Брлогу, због чега су он и његов батаљон похваљени од Штаба Осме кордунашке дивизије. Половином 1943. године истакао се и у борби с комбинованим усташким, четничким и италијанским снагама на Церовнику. Јануара 1944. године, с Четвртим батаљоном уништио је јако усташко-домобранско утврђење с око 300 војника, на Глоборничком мосту, на прузи између Горњих и Доњих Дубрава.
Средином јуна, исте године, Милош је као командант Прве кордунашке бригаде трећи пут отишао на Жумберак, где је води непрекидне борбе с Черкезима, усташама и домобранима. На путу за Жумберак, прешавши Купу, Милошева бригада уништила је непријатељско упориште Бушевац, и водила успешне борбе у Блатници и Речици крај Карловца. Од 27. јуна до 11. јула бригада је водила непрекидне борбе с јаким немачко-усташким снагама у Жумберку.
Погинуо је 14. јула1944. године, у борби с Немцима, код села Кордића. Сахрањен је уз војне почасти на висовима Жумберка, у селу Радатовићи. Од тада, па све до краја рата његово име носио је Четврти батаљон Прве бригаде Осме ударне кордунашке дивизије.
