Za grško črko Π π glej: Pi (črka)
Mala črka π , ki se uporablja za konstanto
dvojiško
11,00100100 0011 1111 0110 ...
desetiško
3,1415926535 89793 23846 ...
dvanajstiško
3,18480949 3B91 864...
šestnajstiško
3,243F6A88 85A3 08D3 1319 ...
šestdesetiško
3; 08, 29, 44, 00, 47, 25, 53, 07, ...
verižni ulomek
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
⋯ ⋯ -->
]
{\displaystyle [3;7,15,1,292,\cdots ]}
Verižni ulomek
π π -->
{\displaystyle \pi \!\,}
je neperiodičen .
Pri premeru 1 je obseg kroga enak π
Število pi (označeno z malo grško črko π ) je matematična konstanta , ki se pojavlja na mnogih področjih matematike , fizike in drugod. Imenuje se tudi Arhimedova konstanta , Ludolfovo število ali krožna konstanta in je enaka razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom . π se lahko določi tudi kot ploščino kroga s polmerom 1 .
Opombe: V neevklidski geometriji , geometriji na neravni površini, se razmerja razsežnosti kroga določajo drugače. Na krogli je razmerje med obsegom in polmerom kroga manjše od π , na sedlu pa večje. Sicer je π tudi najmanjše pozitivno število x , za katerega je sin x = 0 (x v radianih ).
Število π je iracionalno , ker se ga ne da točno zapisati kot razmerje dveh naravnih števil. Svetopisemski približek za π je π = 3, iz davnine pa sta znana še približka: π = 22/7 in π = 355/113.
Vrednost π točna na prvih štiriinšestdeset števk je (OEIS A000796 ):
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...
Značilnosti
Število π je iracionalno število , kar pomeni, da se ga ne da zapisati kot razmerje dveh celih števil . To značilnost je dokazal leta 1761 Lambert . V bistvu je število transcendentno , kar je dokazal leta 1882 Lindemann . To pomeni, da ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi ) koeficienti , katerega koren je π . Zaradi tega se ne da izraziti π samo s končnim številom celih števil, ulomkov ali njihovih korenov. Ta značilnost π reši znameniti starogrški problem kvadrature kroga : samo z uporabo neoznačenega ravnila in šestila je nemogoče konstruirati kvadrat , katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga. Saj so koordinate vseh točk , ki se jih lahko skonstruira samo z ravnilom in šestilom posebna algebrska števila .
Enačbe, ki vsebujejo π
Obseg kroga s polmerom r : O = 2 π r
Obseg kroga s premerom d : O = d π
Površina kroga s polmerom r : S = π r 2
Površina elipse z glavnima osema a in b : S = π ab
Prostornina krogle s polmerom r : V = (4/3) π r 3
Površina krogle s polmerom r : S = 4 π r 2
Koti : 180 stopinj ustreza π radianom
1/1 - 1/3 + 1/5 -1/7 +1/9 - ... = π/4 (Leibnizeva enačba)
2
1
⋅ ⋅ -->
2
3
⋅ ⋅ -->
4
3
⋅ ⋅ -->
4
5
⋅ ⋅ -->
6
5
⋅ ⋅ -->
6
7
⋅ ⋅ -->
8
7
⋅ ⋅ -->
8
9
⋯ ⋯ -->
=
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
(Wallisov produkt (1655 ))
ζ ζ -->
(
2
)
=
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
4
2
+
⋯ ⋯ -->
=
π π -->
2
6
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
(Euler )
ζ ζ -->
(
4
)
=
1
1
4
+
1
2
4
+
1
3
4
+
1
4
4
+
⋯ ⋯ -->
=
π π -->
4
90
{\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
e
− − -->
x
2
d
x
=
π π -->
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}
n
!
≈ ≈ -->
2
π π -->
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
(Stirlingova enačba )
e
π π -->
i
+
1
=
0
{\displaystyle e^{\pi i}+1=0\;}
(Eulerjeva enakost , imenovana tudi »najpomembnejša enačba na svetu«)
π se lahko lepo izrazi s posplošenim verižnim ulomkom :
4
π π -->
=
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
5
2
11
+
6
2
13
+
.
.
.
=
[
1
;
3
,
5
,
7
,
9
,
11
,
13
,
.
.
.
]
{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+{\frac {6^{2}}{13+...}}}}}}}}}}}}=[1;3,5,7,9,11,13,...]}
ali z ulomkom, ki ga je na podlagi Wallisovega produkta leta 1655 sestavil lord William Brouncker :
4
π π -->
=
1
+
1
2
2
+
3
2
2
+
5
2
2
+
7
2
2
+
9
2
2
+
11
2
2
+
.
.
.
=
[
1
;
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
.
.
.
]
{\displaystyle {4 \over \pi }={1+{1^{2} \over 2+{3^{2} \over 2+{5^{2} \over 2+{7^{2} \over 2+{9^{2} \over 2+{11^{2} \over 2+...}}}}}}}=[1;2,2,2,2,2,2,...]}
(Za drugih 11 izrazov glej [1] )
Verjetnost, da sta dve naključno izbrani celi števili tuji je 6/π2 .
Verjetnost, da je naključno izbrano celo število deljivo brez kvadrata je 6/π2 .
Povprečno število načinov zapisa pozitivnega celega števila kot vsote dveh popolnih kvadratov , kjer je vrstni red pomemben, je π/4.
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
1
n
∑ ∑ -->
i
=
1
n
x
i
=
2
π π -->
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}}
za skoraj vsak x 0 iz [0, 1], kjer so x i ponovitve/iteracije logistične karte za r =4.
Fizika :
δ δ -->
x
δ δ -->
p
≥ ≥ -->
h
4
π π -->
{\displaystyle \delta x\,\delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
(Heisenbergovo načelo nedoločenosti )
R
i
k
− − -->
g
i
k
R
2
+
Λ Λ -->
g
i
k
=
8
π π -->
κ κ -->
c
4
T
i
k
{\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi \kappa \over c^{4}}T_{ik}}
(Einsteinova enačba gravitacijskega polja v splošni teoriji relativnosti )
f
(
x
)
=
1
σ σ -->
2
π π -->
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
2
2
σ σ -->
2
{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}}
(Funkcija verjetnostne gostote za normalno porazdelitev .)
Zgodovina računanja vrednosti π
Glej zgodovina števila π .
Zanimivosti
Približki
Poleg najbolj pogostega približka 3,14 in malo točnejšega približka 22/7 = 3,14 285714 je zelo dober približek ulomek 355/113 = 3,141592 92035. Sam ulomek si zapomnimo takole: zapišimo 113355 in zadnje tri številke delimo s prvimi!
Dan pi
Ljubitelji števila pi praznujejo Dan pi , to je 14. marec (v angleškem zapisu 3.14), nekateri pa tudi 22. julij (22/7 je dober enostaven približek).
Tekmovanja v pomnjenju števila π
V zadnjem desetletju se je rekordni dosežek v pomnjenju decimalk π hitro povečeval.
Leta 2006 naj bi Akira Haraguči , upokojeni japonski inženir, brez napake zrecitiral 100.000 decimalk.[ 1] Ta rekord še ni potrjen in vpisan v Guinnessovo knjigo rekordov . Guinness priznava rekord 67.890 decimalk, ki ga je dosegel Chao Lu, 24-letni podiplomski študent iz Kitajske, 20. novembra leta 2005[ 2] Za recitiranje je porabil 24 ur in 4 minute.[ 3]
Slovensko tekmovanje v pomnjenju števila π
Slovensko praznovanje dneva pi se je začelo leta 2007. Prvi zmagovalec v deklamiranju decimalk π je bil Simon Čopar s 150 decimalkami. Zmagoval je še večkrat, leta 2011 z dosežkom 767 decimalk. Leta 2015 je naslov prvaka in slovenskega rekorderja prevzel študent Nik Škrlec s 1694 decimalkami.[ 4]
Kako si zapomniti π ?
V številnih jezikih so ustvarili verze, ki s številom črk na posamezno besedo ponazarjajo števke števila π. Seveda je to pi-ezija, ne poezija[navedi vir ] !
Slovenski dosežek piezije je:
Kdo o tebi z glavo razmišlja da spomni števk teh?
(3,141592653...)
Za različice v drugih jezikih glej npr. Pi Mnemonics in Wordplay .
TeX
TE Xove različice Knuth številči takole: 3, 3.1, 3.14, 3.141, različice Metafonta pa številči z decimalkami e. Sicer pa opozarja uporabnike njegovih programov: »Pazite se hroščev v programu, jaz sem samo dokazal, da deluje pravilno, nisem pa ga preskusil! «
Google
Sklici
Zunanje povezave