Рассмотрим вывод только первого соотношения, поскольку доказательство второго аналогично.

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}$

Из теоремы синусов:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

имеем:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}}$

откуда следует:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}}$

С учетом формулы двойного угла для синуса:

${\displaystyle \sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$,

а также формулы для суммы синусов:

${\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$

имеем:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}}$

По теореме о сумме углов треугольника:

${\displaystyle C=\pi -(A+B)}$

откуда с учётом формулы приведения для косинуса следует, что:

${\displaystyle \cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}}$

как следствие имеем:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}}$

что и требовалось доказать.