PROFILPELAJAR.COM

Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида

f(h(x))=h(x+1)

или

\alpha (f(x))=\alpha (x)+1

.

Данные формы эквивалентны, когда α обратимо. h или α управляют итерацией f.

Эквивалентность

Второе уравнение может быть записано как

\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.

Принимая x = α⁻¹(y), уравнение можно записать как

f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.

Для известной функции f(x) задача состоит в решении функционального уравнение для функции α⁻¹ ≡ h, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как α⁻¹(0) = 1.

Замена переменных s^α(x) = Ψ(x) для вещественного параметра s приводит уравнение Абеля к уравнению Шредера^[англ.]^*, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

Дальнейшая замена F(x) = exp(s^α(x)) приводит к уравнению уравнению Бёттхера^[англ.], F(f(x)) = F(x)^s.

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им)^[1],

\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)

,

например, для $\omega (x,1)=f(x)$ ,

\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)

. (Обратите внимание, что ω(x,0) = x.)

Функция Абеля α(x) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

История

Изначально уравнение было получено в более общей форме^[2]^[3]. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа^[4]^[5]^[6].

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно^[7].

Особые случаи

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда f = exp.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2

,

и так далее,

\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n.

Решения

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на $E$ тогда и только тогда, когда для всех $x\in E$ и для всех $n\in \mathbb {N}$ , $f^{n}(x)\neq x$ , где $f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f$ , функция f итерированная n раз^[8].

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки^[9]. Аналитическое решение единственно с точностью до константы^[10].