То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается K {\displaystyle K} или L {\displaystyle L} ) — одна из замечательных точек треугольника.
У точки Лемуана существует три равносильных определения:
Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.
Пусть A 1 {\displaystyle A_{1}} — точка пересечения касательных в вершинах B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} к описанной окружности, A M {\displaystyle A_{M}} — середина стороны B C {\displaystyle BC} . Тогда, так как B C {\displaystyle BC} — поляра точки A 1 {\displaystyle A_{1}} относительно описанной окружности, а A M {\displaystyle A_{M}} — основание перпендикуляра на сторону B C {\displaystyle BC} из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки A 1 {\displaystyle A_{1}} и A M {\displaystyle A_{M}} симметричны относительно окружности. Пусть точка A 0 {\displaystyle A_{0}} — середина дуги B C {\displaystyle BC} описанной окружности, не содержащей точки A {\displaystyle A} . Тогда ∠ ∠ --> A 0 A A M = ∠ ∠ --> A 0 A A 1 {\displaystyle \angle A_{0}AA_{M}=\angle A_{0}AA_{1}} , то есть прямая A A 1 {\displaystyle AA_{1}} и медиана A A M {\displaystyle AA_{M}} симметричны относительно биссектрисы A A 0 {\displaystyle AA_{0}} . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.
Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.
Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. [1]. Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.[2]. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.
Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".[3]
Lokasi Pengunjung: 3.12.34.59