PROFILPELAJAR.COM

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противоположной стороны.

Три чевианы $AA',BB',CC'$ треугольника $ABC$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

{\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1

Замечания

Эта теорема является аффинной, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщения

Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки $A',B',C'$ $A',B',C'$ лежат на продолжениях сторон $BC,CA,AB$ $BC,CA,AB$ . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков $XY$ $XY$ и $ZT$ $ZT$ и обозначается ${XY}/{ZT}$ ${XY}/{ZT}$
- Пусть $A',B',C'$ лежат на прямых $BC,CA,AB$ треугольника $ABC$ . Прямые $AA',BB',CC'$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: ${\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1$

Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в ^[1])
Тригонометрическая теорема Чевы:
${\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.$