Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ (вещественных или комплексных) определяется как

${\displaystyle (ab,cd)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}.}$

Также встречаются обозначения ${\displaystyle (a,b;c,d)}$ и ${\displaystyle [a,b;c,d]}$.

• ${\displaystyle (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)}$.
• Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.

${\displaystyle (ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)}$.

В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно ${\displaystyle \lambda }$, тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$.

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}},}$

где через ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ обозначены координаты точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}},}$

подразумевая, что через ${\displaystyle AC/BC}$ (соответственно ${\displaystyle AD/BD}$) обозначено отношение направленных отрезков.

• Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четвёрки прямых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, проходящих через одну точку, называют число

${\displaystyle (ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c)}}:{\frac {\sin(a,d)}{\sin(b,d)}},}$

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, не пересекается ни с одной из прямых ${\displaystyle c}$ или ${\displaystyle d}$ (в этом случае говорят, что пара прямых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не разделяет пару прямых ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$), то ${\displaystyle (ab,cd)>0}$; в противном случае ${\displaystyle (ab,cd)<0}$.

• Пусть четвёрка прямых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ проходит через точку ${\displaystyle O}$, а прямая ${\displaystyle \ell }$ не содержит ${\displaystyle O}$. Предположим прямые ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ пересекаются с ${\displaystyle \ell }$ соответственно в точках ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$. Тогда

  ${\displaystyle (ab,cd)=(AB,CD).}$

• Гармоническая четвёрка точек и прямых
• Простое отношение
• Пропорциональные отрезки

• Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
• Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.