Прямоугольная система координат

Прямоугольная (декартова) система координат. Четыре точки отмечены в системе координат: (2, 3) зеленого цвета, (−3, 1) красного, (−1.5, −2.5) синего, и начало координат (0, 0) пурпурного.

Прямоуго́льная (декартова) систе́ма координа́т — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными координатными осями на плоскости или в пространстве. Часто используемая система координат. Просто обобщается для пространств любой размерности.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названную так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).

История

Впервые прямоугольную систему координат ввёл в науку Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Он первый применил понятие координат для исследования и решения многих геометрических задач. Поэтому прямоугольную систему координат обычно называют также декартова система координат (хотя современный термин прямоугольная система координат не во всём соответствует тому, что вкладывал в это понятие сам Декарт[2].

Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. Различие направлений на осях знаками «+» и «‒» было введено позднее его учениками.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы, касающиеся координатного метода, были впервые опубликованы уже после его смерти[3].

Системы декартовых координат при дальнейшем развитии науки сыграли важную роль в становлении дифференциального и интегрального исчисления, развитого Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем[4].

Двухкоординатное описание плоскости позднее было обобщено в понятие векторных пространств[5].

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Применение координатного метода в трёхмерном пространстве впервые использовали Клеро и Эйлер в XVIII веке.

Единичные векторы были впервые использованы, по-видимому, Уильямом Гамильтоном и Джеймсом Максвеллом.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и . Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Рис. 1

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами и . Координата равна длине отрезка , координата  — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки и определяются линиями, проведёнными из точки параллельно осям и соответственно.

При этом координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче (а не на луче , как на рисунке). Координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче . Таким образом, и являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось называется осью абсцисс (лат. abscissus — букв. «отрезанный, отделённый»[6]), а ось  — осью ординат (лат. ordinatus — букв. «упорядоченный, установленный в определённом порядке»[6]). Координата называется абсцисса точки , координата  — ордината точки .

Символически это записывают так:

,

или:

,

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

,

и т. д.

  • В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх, ось смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
  • Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат и , называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
    • Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
    • Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
    • Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
    • Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат , и . Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно[7]) одинаковы для всех осей.  — ось абсцисс,  — ось ординат,  — ось аппликат.

Рис. 2

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами , и . Координата равна длине отрезка , координата  — длине отрезка , координата  — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки , и определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям , и соответственно.

Координата называется абсциссой точки ,
координата  — ординатой точки ,
координата  — аппликата (лат. applicata — прилегающая)[8] точки .

Символически это записывают так:

,

или

,

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

,

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка лежала не как на рисунке — на луче , а на его продолжении в обратную сторону от точки (на отрицательной части оси ), то абсцисса точки была бы отрицательной (минус расстоянию ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами[9] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её ).

Для обозначения координат обычно[10] применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

Для обозначения произвольной -й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

а нередко обозначение используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: .

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет[11].

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для -мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

Прямоугольные координаты вектора

Рис. ??1

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца[12].

  • Таким образом, например, координаты на рис. 1 являются координатами вектора .

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

  1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
  2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
  • Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение и умножение на скаляр:

,

или:

,

или:

,

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

,

или:

,

или:

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

,

или:

(Это справедливо только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

  • Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора
и угол между векторами:
.

Внешнее произведение:

,

для любой размерности пространства,

,
,
.

Это позволяет свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Орты

Прямоугольная система координат[13] (любой размерности) также описывается[14] набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты образуют ортонормированный базис, притом[15].

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются:

, и ,

или

, и .

Могут также применяться обозначения со стрелками (, и или , и ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Для размерностей пространства более 3, (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто[16] это:

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

,

или:

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

См. также

Примечания

  1. Выгодский М. Я. Раздел VI. Функции, графики (§ 6. Координаты) // Справочник по элементарной математике / сост. М. Я. Выгодский, под ред. Н. А. Шармай. — М.: АСТ; Астрель, 2015. — С. 461. — 509 с. — 1500 экз. — ISBN 978-5-17-084803-4, ББК 2.1я2, УДК 51(03). — ISBN 978-5-271-46916-9.
  2. Например, Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояние от точек плоскости до оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно перпендикулярно
  3. Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analytic geometry. Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 августа 2017. Архивировано 6 августа 2017 года.
  4. A Tour of the Calculus, David Berlinski
  5. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right - Springer. — 2015. — P. 1. — ISBN 978-3-319-11079-0. — doi:10.1007/978-3-319-11080-6.
  6. 1 2 Словарь иностранных слов. — М.: Рус. яз., 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
  7. Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, так как можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).
  8. Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
  9. Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.
  10. Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.
  11. Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Ещё проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.
  12. Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.
  13. В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.
  14. Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только ещё задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).
  15. При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.
  16. Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

Ссылки

Read other articles:

AjigePangeran Ying Ranking PertamaMasa pemerintahan1644 - 1651(7 tahun)PendahuluTidak ada (gelar dibuat)PenerusTidak adaInformasi pribadiKelahiran(1605-08-28)28 Agustus 1605Kematian28 November 1651(1651-11-28) (umur 46)WangsaIstana Aisin GioroNama lengkapAisin Gioro Ajige 愛新覺羅·阿濟格AyahNurhaciIbuNyonya AbahaiAnakSeorang putri Ajige (Manchu: ; Hanzi: 阿濟格) (28 Agustus 1605   – 28 November 1651) (ditulis kecil, kecil di dalam Manchu) merupakan seorang pangeran ...

 

 

  لمعانٍ أخرى، طالع نادي الترسانة (توضيح). الترسانة شعار نادي الترسانة الاسم الكامل نادي الترسانة الرياضي الاسم المختصر TSC تأسس عام 1921 (منذ 103 سنوات) الملعب ملعب ميت عقبة الجيزة، مصر(السعة: 15,000) البلد مصر  الدوري الدوري المصري الدرجة الثانية 2022–23 الثامن (المجموعة الثا...

 

 

دورة فرنسا المفتوحة 1984 رقم الفعالية 83  البلد فرنسا  التاريخ 1984  الرياضة كرة المضرب  الفعاليات دورة فرنسا المفتوحة 1984 - فردي السيدات،  ودورة فرنسا المفتوحة 1984 - فردي الرجال،  ودورة فرنسا المفتوحة 1984 - زوجي السيدات،  ودورة فرنسا المفتوحة 1984 – زوجي رجال  ...

كبل محوري التلفزيون الكَبْلِي أو تلفزيون الكَبْل (بالإنجليزية: cable television)‏، والكَبْل ب‍العربية هو القيد الضخم هو نظام لتزويد القنوات التلفزيونية للمشاهدين عن طريق إشارات تردد الراديو المرسلة للتلفاز من خلال الألياف البصرية أو عن طريق الكابلات المحورية بخلاف الطريقة الت...

 

 

العلاقات السويدية الغرينادية السويد غرينادا   السويد   غرينادا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات السويدية الغرينادية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين السويد وغرينادا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقا...

 

 

TMZ

TMZURLwww.tmz.comTipeTabloidPerdagangan ?YaRegistration (en)OpsionalLangueInggrisBagian dariWarner Media Group, Telepictures (en), Warner Bros. dan Fox Corporation PemilikFox Corporation Pembuat Harvey Levin Jim Paratore[1] Publisher (en)Harvey LevinService entry (en)8 November 2005; 18 tahun lalu (2005-11-08)[2]Lokasi kantor pusatJefferson Boulevard (en) dan Los Angeles NegaraAmerika Serikat Peringkat Alexa 1497 (Maret 2020[update])[3]KeadaanAktif TM...

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne s'appuie pas, ou pas assez, sur des sources secondaires ou tertiaires (mai 2022). Pour améliorer la vérifiabilité de l'article ainsi que son intérêt encyclopédique, il est nécessaire, quand des sources primaires sont citées, de les associer à des analyses faites par des sources secondaires. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Certaines informati...

 

 

Borough in Estonia Small borough in Võru County, EstoniaKoseSmall boroughKoseLocation in EstoniaCoordinates: 57°48′53″N 27°02′06″E / 57.81472°N 27.03500°E / 57.81472; 27.03500Country EstoniaCounty Võru CountyMunicipality Võru ParishPopulation • Total615 Kose is a small borough (Estonian: alevik) in Võru Parish, Võru County, in southeastern Estonia. It has a population of 615.[1] Lake Pappjärv Shop References ^ Rahvastik. Võru...

 

 

Questa voce o sezione sull'argomento professionisti televisivi italiani non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Giancarlo Magalli nel 2015 Giancarlo Magalli (Roma, 5 luglio 1947) è un autore televisivo, conduttore televisivo e attore italiano. Indice 1 Biografia 1.1 Carriera 1.2 Vita privata 2 Procedimenti giudiziari 3 Riconoscimenti 4 Televisio...

PoinsonnetLocalisationPays  FranceCoordonnées 47° 00′ 32″ N, 1° 08′ 23″ EDimensionsLongueur 13,3 kmHydrographieType RivièreAffluent AiguillonSe jette dans IndreBassin versant Bassin de l'Indremodifier - modifier le code - modifier Wikidata Le Poinsonnet est un cours d'eau français qui coule dans le département de l'Indre. C'est un affluent de l'Indre en rive gauche et donc un sous-affluent de la Loire. Géographie Le Poinsonnet a une longueur d...

 

 

Questa voce sull'argomento centri abitati del Mato Grosso è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Várzea Grandecomune Várzea Grande – Veduta LocalizzazioneStato Brasile Stato federato Mato Grosso MesoregioneCentro-Sul Mato-Grossense MicroregioneCuiabá AmministrazioneSindacoLucimar Sacre de Campos (Democratici) TerritorioCoordinate15°38′59″S 56°07′52″W / 15.649722°S 56.131111°W-15.649722; -56.131111...

 

 

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Canapé – berita · surat kabar · buku&...

American sports player (1940–2003) Dave DeBusschereDeBusschere, circa 1974Personal informationBorn(1940-10-16)October 16, 1940Detroit, Michigan, U.S.DiedMay 14, 2003(2003-05-14) (aged 62)New York City, U.S.Listed height6 ft 6 in (1.98 m)Listed weight220 lb (100 kg)Career informationHigh schoolAustin Catholic Preparatory School (Detroit, Michigan)CollegeDetroit Mercy (1959–1962)NBA draft1962: territorial pickSelected by the Detroit PistonsPlaying career1962–...

 

 

Place in Opole Voivodeship, PolandPilszczChurch of the Assumption of the Virgin MaryPilszczCoordinates: 50°0′0″N 17°55′12″E / 50.00000°N 17.92000°E / 50.00000; 17.92000Country PolandVoivodeshipOpoleCountyGłubczyce CountyGminaGmina KietrzArea • Total1.98 km2 (0.76 sq mi)Population (2007) • Total755 • Density380/km2 (990/sq mi)Time zoneUTC+1 (CET) • Summer (DST)UTC+2 (CEST)Postal c...

 

 

Vinicio Viani Nazionalità  Italia Calcio Ruolo Attaccante Termine carriera 1951 - giocatore1975 - allenatore Carriera Giovanili 192?-1931 Viareggio Squadre di club1 1931-1933 Viareggio34 (26)1933-1935 Fiorentina51 (27)1935-1936 Lucchese34 (34)1936-1938 Fiorentina42 (18)1938-1942 Livorno99 (67)1942-1943 Napoli31 (16)1943-1944 Spezia VV.FF.5 (1)1945-1946 Benevento? (?)1946-1949 Viareggio102 (50)1949-1951 Massese32 (22) Carriera da al...

Questa voce o sezione sull'argomento linguisti italiani non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Luciano Canepari (pron. [kaneˈpaːri]; Venezia, 19 gennaio 1947) è un linguista italiano, docente all'Università degli studi Ca' Foscari di Venezia presso il dipartimento di Scienze del Linguaggio. Indice 1 Biografia 2 La Fonetica naturale canIPA 3 ...

 

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

 

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

Untuk Wakil Menteri Pertanian dan Perikanan, lihat Abílio Xavier de Araújo. Abílio AraújoAbílio Araújo (2022) Informasi pribadiLahir18 Oktober 1949 (umur 74) Aileu, Timor PortugisPartai politik Fretilin (1975–1993) Partai Nasionalis Timor (1999—)Sunting kotak info • L • B Abílio da Conceição Abrantes de Araújo (lahir 18 Oktober 1949)[1] adalah seorang politikus dari Timor Leste. Dia adalah seorang ekonom dan musisi.[2] Karier Abílio Araújo (1...

 

 

جزء من سلسلة مقالات حولالإسلام حسب البلد الإسلام في إفريقيا أنغولا بنين بوتسوانا بوركينا فاسو بوروندي الكاميرون الرأس الأخضر أفريقيا الوسطى نشاد الجزائر جزر القمر الكونغو الديمقراطية الكونغو ساحل العاج جيبوتي مصر غينيا الاستوائية إريتريا إثيوبيا الغابون غامبيا غانا غي...