Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|}$.

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом ${\displaystyle \mathbf {1} }$, что для всех ${\displaystyle x\in A}$ справедливо ${\displaystyle x\mathbf {1} =\mathbf {1} x=x}$). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру ${\displaystyle A}$ можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру ${\displaystyle A_{e}}$ в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

• Поля комплексных чисел или действительных чисел — ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \mathbb {R} }$ относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
• ${\displaystyle C(\Omega )}$ — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$ — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где ${\displaystyle \Omega }$ — локально компактное пространство.
• Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
• Если ${\displaystyle G}$ — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара ${\displaystyle \mu }$, то банахово пространство ${\displaystyle L_{1}(G)}$ интегрируемых относительно меры ${\displaystyle \mu }$ комплекснозначных функций на ${\displaystyle G}$ является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле

${\displaystyle (xy)(g)=\int _{G}x(h)y(h^{-1}g)\,\mathrm {d} \mu (h),\;g\in G}$.

• ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$ — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: ${\displaystyle \forall a\ ||a^{*}a||=||a||^{2}}$

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов ${\displaystyle \mathrm {Inv} (A)}$ алгебры ${\displaystyle A}$ является открытым множеством. При этом отображение ${\displaystyle \mathrm {Inv} }$, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {Inv} (A)}$ — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что ${\displaystyle \lambda \mathbf {1} ,\ \lambda \neq 0}$ также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент ${\displaystyle a\in A}$ алгебры ${\displaystyle A}$ называется обратимым, если найдется такой элемент ${\displaystyle a^{-1}\in A}$, что ${\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf {1} }$. Спектром ${\displaystyle \sigma (a)}$ элемента ${\displaystyle a}$ называется множество таких ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$ что элемент ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ спектр элемента ${\displaystyle w}$ из алгебры ${\displaystyle C(K)}$, определяемого по формуле ${\displaystyle w(z)=z}$, совпадает с ${\displaystyle K}$, поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом ${\displaystyle \mathrm {r} (x)}$ элемента ${\displaystyle x\in A}$ называется величина

${\displaystyle \mathrm {r} (x)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}}$.

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

${\displaystyle \mathrm {r} (x)=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$

Резольвентным множеством элемента ${\displaystyle a\in A}$ называется множество ${\displaystyle \rho (a)=\mathbb {C} \setminus \sigma (a)}$. Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента ${\displaystyle a\in A}$ называется функция комплексной переменной ${\displaystyle R_{a}\colon \rho (a)\to A}$, определяемая формулой ${\displaystyle R_{a}(\lambda )=(\lambda \mathbf {1} -a)^{-1}}$. Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если ${\displaystyle f}$ — голоморфная в окрестности ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ спектра ${\displaystyle \sigma (a)}$ функция, можно определить ${\displaystyle f(a)\in A}$ по формуле

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(\lambda )R_{a}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — спрямляемый жорданов контур, лежащий в ${\displaystyle D}$, содержащий спектр элемента ${\displaystyle x}$ и ориентированный положительно, а ${\displaystyle R_{a}}$ — резольвента элемента ${\displaystyle a}$. В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — максимальный идеал, то факторалгебра ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Поэтому каждому максимальному идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A^*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента ${\displaystyle a}$ алгебры A называется непрерывная функция ${\displaystyle {\hat {a}}\colon \mathrm {Spec} \,A\to \mathbb {C} }$, определяемая по формуле ${\displaystyle {\hat {a}}(\chi )=\chi (a)}$ для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.