QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел и собственных векторов матрицы. Был разработан в конце 1950-х годов независимо В. Н. Кублановской и Дж. Фрэнсисом^[англ.].

Пусть A — вещественная матрица, для которой мы хотим найти собственные числа и векторы. Положим A₀=A. На k-м шаге (начиная с k = 0) вычислим QR-разложение A_k=Q_kR_k, где Q_k — ортогональная матрица (то есть Q_k^T = Q_k⁻¹), а R_k — верхняя треугольная матрица. Затем мы определяем A_k+1 = R_kQ_k.

Заметим, что

${\displaystyle A_{k+1}=R_{k}Q_{k}=Q_{k}^{-1}Q_{k}R_{k}Q_{k}=Q_{k}^{-1}A_{k}Q_{k}=Q_{k}^{T}A_{k}Q_{k},}$

то есть все матрицы A_k являются подобными, то есть их собственные значения равны.

Пусть все диагональные миноры матрицы A не вырождены. Тогда последовательность матриц A_k при ${\displaystyle k\to \infty ,}$ сходится по форме к клеточному правому треугольному виду, соответствующему клеткам с одинаковыми по модулю собственными значениями.^[1]

Для того, чтобы получить собственные векторы матрицы, нужно перемножить все матрицы Q_k.

Алгоритм считается вычислительно устойчивым, т. к. производится ортогональными преобразованиями подобия.

Будем считать, что собственные числа положительно-определённой матрицы A упорядочены по убыванию:

${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>...>\lambda _{n}>0.}$

Пусть

${\displaystyle \Lambda =\mathrm {diag} \left(\lambda _{1},...,\lambda _{n}\right),}$

а S — матрица, составленная из собственных векторов матрицы A. Тогда, матрица A может быть записана в виде спектрального разложения

${\displaystyle A=S\Lambda S^{T}.}$

Найдём выражение для степеней исходной матрицы через матрицы Q_k и R_k. С одной стороны, по определению QR-алгоритма:

${\displaystyle A^{k}=A_{1}^{k}=\left(Q_{1}R_{1}\right)^{k}=Q_{1}\left(R_{1}Q_{1}\right)^{k-1}R_{1}=Q_{1}A_{2}^{k-1}R_{1}.}$

Применяя это соотношение рекурсивно, получим:

${\displaystyle A^{k}=Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k}\cdot R_{k}\cdot ...\cdot R_{1}}$

Введя следующие обозначения:

${\displaystyle S_{k}=Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k},}$

${\displaystyle T_{k}=R_{k}\cdot ...\cdot R_{1},}$

получим

${\displaystyle A^{k}=S_{k}T_{k}.}$

С другой стороны:

${\displaystyle A^{k}=S\Lambda ^{k}S^{T}.}$

Приравнивая правые части последних двух формул, получим:

${\displaystyle S\Lambda ^{k}S^{T}=S_{k}T_{k}.}$

Предположим, что существует LU-разложение матрицы S^T:

${\displaystyle S^{T}=LU,}$

тогда

${\displaystyle S\Lambda ^{k}LU=S_{k}T_{k}.}$

Умножим справа на обратную к U матрицу, а затем — на обратную к Λ^k:

${\displaystyle S\Lambda ^{k}L=S_{k}T_{k}U^{-1},}$

${\displaystyle S\Lambda ^{k}L\Lambda ^{-k}=S_{k}T_{k}U^{-1}\Lambda ^{-k}.}$

Можно показать, что

${\displaystyle \Lambda ^{k}L\Lambda ^{-k}\to \mathrm {diag} \left(l_{11},...,l_{nn}\right)=L^{\prime }.}$

При ${\displaystyle k\to \infty }$ без ограничения общности можно считать, что на диагонали матрицы L стоят единицы, поэтому

${\displaystyle S_{k}T_{k}U^{-1}\Lambda ^{-k}\to S.}$

Обозначим

${\displaystyle P_{k}=T_{k}U^{-1}\Lambda ^{-k},}$

причём матрица P_k является верхнетреугольной, как произведение верхнетреугольных и диагональных матриц.

Таким образом, мы доказали, что

${\displaystyle S_{k}P_{k}\to S}$.

Из единственности QR-разложения следует, что если произведение ортогональной и треугольной матрицы сходится к ортогональной матрице, то треугольная матрица сходится к единичной матрице. Из сказанного следует, что

${\displaystyle S_{k}=Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k}\to S.}$

То есть матрицы S_k сходятся к матрице собственных векторов матрицы A.

Так как

${\displaystyle A_{k+1}=Q_{k}^{T}A_{k}Q_{k}=...=\left(Q_{k}^{T}\cdot ...\cdot Q_{1}^{T}\right)A_{1}\left(Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k}\right)=\left(Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k}\right)^{T}A\left(Q_{1}\cdot ...\cdot Q_{k}\right),}$

то

${\displaystyle A_{k+1}=S_{k}^{T}AS_{k}.}$

Переходя к пределу, получим:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{k}=\lim _{k\to \infty }A_{k+1}=S^{T}AS=S^{T}S\Lambda S^{T}S=\Lambda .}$

Итак, мы доказали, что QR-алгоритм позволяет решить полную проблему собственных значений для симметричной положительно-определённой матрицы.

При определённых условиях последовательность матриц ${\displaystyle A_{k}}$ сходится к треугольной матрице, разложению Шура матрицы ${\displaystyle A}$. В этом случае собственные числа треугольной матрицы располагаются на её диагонали, и задача нахождения собственных чисел считается решённой. В тестах на сходимость не практично требовать точных нулей в нулевой части матрицы, но можно воспользоваться теоремой о кругах Гершгорина, задающей пределы ошибок.

В исходном состоянии матрицы (без дополнительных преобразований) стоимость итераций относительно высока. Стоимость алгоритма можно уменьшить, сначала приведя матрицу ${\displaystyle A}$ к форме верхней матрицы Хессенберга (стоимость получения которой методом, основанном на преобразовании Хаусхолдера, оценивается как ${\displaystyle {10 \over 3}n^{3}+O(n^{2})}$ арифметических операций), и затем используя конечную последовательность ортогональных преобразований подобия. Данный алгоритм чем-то похож на двухсторонюю QR-декомпозицию. (В обычной QR-декомпозиции матрица отражений Хаусхолдера умножается на исходную только слева, тогда как в случае использования формы Хессенберга матрица отражений умножается на исходную и слева, и справа.) Нахождение QR-декомпозиции верхней матрицы Хессенберга оценивается как ${\displaystyle 6n^{2}+O(n)}$ арифметических операций. Из-за того, что форма матрицы Хессенберга почти верхнетреугольная (у неё только один поддиагональный элемент не равен нулю), удается сразу снизить число итераций требуемых для схождения QR-алгоритма.

В случае, если исходная матрица симметричная, верхняя матрица Хессенберга также симметричная и поэтому является трехдиагональной. Этим же свойством обладает вся последовательность матриц ${\displaystyle A_{k}}$. В этом случае стоимость процедуры оценивается как ${\displaystyle {4 \over 3}n^{3}+O(n^{2})}$ арифметических операций с использованием метода, основанного на преобразовании Хаусхолдера. Нахождение QR-разложения симметричной трехдиагональной матрицы оценивается как ${\displaystyle O(n)}$ операций.

Скорость сходимости зависит от степени разделения собственных чисел, и в практической реализации в явном или неявном виде используются «сдвиги» для усиления разделения собственных чисел и для ускорения сходимости. В типичном виде для симметричных матриц QR-алгоритм точно находит одно собственное число (уменьшая размерность матрицы) за одну или две итерации, что делает этот подход как эффективным, так и надежным.

В современной вычислительной практике QR-алгоритм реализуется с использованием его неявной версии, что упрощает добавление множественных «сдвигов». Исходно матрица приводится к форме верхней матрицы Хессенберга ${\displaystyle A_{0}=QAQ^{T}}$, так же как и в явной версии. Затем, на каждом шаге первая колонка ${\displaystyle A_{k}}$ преобразуется через малоразмерное преобразование подобия Хаусхолдера к первой колонке ${\displaystyle p(A_{k})}$ (или ${\displaystyle p(A_{k})e_{1}}$), где ${\displaystyle p(A_{k})}$ — это полином степени ${\displaystyle r}$, который определяет стратегию «сдвигов» (обычно ${\displaystyle p(x)=(x-\lambda )(x-{\bar {\lambda }})}$, где ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ — это два собственных числа остаточной подматрицы ${\displaystyle A_{k}}$ размера 2×2, это так называемый неявный двойной сдвиг). Затем последовательные преобразования Хаусхолдера размерности ${\displaystyle r+1}$ производятся с целью вернуть рабочую матрицу ${\displaystyle A_{k}}$ к форме верхней матрицы Хессенберга.

• Заметки Питера Олвера о ортогональных базисах и QR-алгоритме (англ.)