Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов^[англ.].

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа^[1], при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию^[2].

(Ковариантный) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — это отображение, которое:

• сопоставляет каждому объекту ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ объект ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)\in {\mathcal {D}},}$
• сопоставляет каждому морфизму ${\displaystyle f:X\to Y}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ морфизм ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(A)}}$,
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)}$.

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму ${\displaystyle f:X\to Y}$ морфизм ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)}$), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)}$.

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$» говорят «функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$» (или, иногда, «функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathrm {op} }}$»).

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ имеет вид ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$.

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на ${\displaystyle n}$ переменных.

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — подкатегория в категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В таком случае определён функтор вложения ${\displaystyle I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}}$, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
• Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в фиксированный объект категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, а каждый морфизм ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — в тождественный морфизм этого объекта.
• Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
• Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
• Предпучки: пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, тогда открытые подмножества ${\displaystyle X}$ образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое ${\displaystyle O(X)}$. Как и любому частично упорядоченному множеству, ${\displaystyle O(X)}$ можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм ${\displaystyle U\to V}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U\subseteq V}$. Контравариантные функторы из ${\displaystyle O(X)}$ называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
• Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству ${\displaystyle X}$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ можно сопоставить фундаментальную группу ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если ${\displaystyle f:X\to (Y)}$ — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки ${\displaystyle x_{0}}$ можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки ${\displaystyle y_{0}}$. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из ${\displaystyle \pi (X,x_{0})}$ в ${\displaystyle \pi (Y,y_{0})}$. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
• Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.

  Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.

• Тензорное произведение: если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, ковариантный по обоим аргументам^[3].
• Симплициальные объекты^[англ.] — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп — симплициальная группа^[англ.] и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
• Функтор ${\displaystyle \operatorname {Gal} :\mathbf {Fld} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp} }$ сопоставляет полю ${\displaystyle F}$ его абсолютную группу Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {F}}/F)}$, а гомоморфизму полей — соответствующий^{[прояснить]} гомоморфизм групп Галуа.

• Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
• Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
• Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — категории. Множество всех морфизмов ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

	В Викисловаре есть статья «функтор»

• Букур И., Деляну А. . Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
• Маклейн С. . Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. . Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.

• Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.