Примером группы симплектических матриц служит группа трёх симплектических 2x2 матриц, состоящая из единичной матрицы, верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы, состоящих из элементов 0 и 1.
Любая симплектическая матрица является невырожденной и обратная матрица задаётся формулой
Кроме того, умножение двух симплектических матриц будет, снова, симплектической матрицей. Это придаёт множеству всех симплектических матриц структуру группы. Существует естественная структура многообразия на этой группе, которая превращает её в (вещественную или комплексную) группу Ли, называемую симплектической группой.
Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ±1. На самом деле оказывается, что определитель всегда равен +1 для любого поля. Один из способов увидеть это — использовать пфаффиан и равенство
Поскольку и , мы имеем det(M) = 1.
Если рассматриваемое поле является полем вещественных или комплексных чисел, элементарное доказательство получается путём разложения неравенства .[1]
Предположим, что Ω задано в стандартном виде и пусть M — это 2n×2nблочная матрица, заданная в виде
,
где A, B, C, D являются n×n матрицами. Условие для M может быть симплектически эквивалентно двум следующим условиям[2]
симметричные, и
симметричные, и
При n = 1 эти условия сводятся к одному условию det(M) = 1. Тогда 2×2 матрица симплектическая тогда и только тогда, когда имеет единичный определитель.
В случае задания Ω в стандартной форме, обратная к M задаётся уравнением
Группа имеет размерность n(2n + 1). Это можно видеть, если заметить, что
Последнее равенство можно представить в форме
,
где — элемент (i,j) матрицы. Эта сумма антисимметрична, и, поскольку левая часть равна нулю при i отличном от j, это оставляет n(2n-1) независимых равенств.
Симплектическое преобразование тогда является линейным преобразованием L : V → V, которое сохраняет ω, т.е.
Если зафиксировать базис для V, ω можно записать как матрицу Ω и L как матрицу M. Условие, что L является симплектическим преобразованием, в точности является условием, что M — симплектическая матрица:
Всегда можно привести Ω либо к стандартной форме, указанной во введении, либо к блочно-диагональной форме, описанной ниже, если выбрать подходящую матрицу A.
Иногда используется обозначение J вместо Ω для кососимметричной матрицы. Это является не очень хорошим выбором, поскольку приводит к путанице с обозначениями комплексной структуры[англ.], которая часто имеет то же самое координатное выражение, что и Ω, но представляет совершенно другую структуру. Комплексная структура J — это координатное представление линейного преобразования, квадрат которого равен -E, в то время как Ω является координатным представлением невырожденной кососимметричной билинейной формы. Легко выбрать базис, в котором J не будет кососимметричной, или квадрат Ω не будет -E.
где — метрика. То, что J и Ω имеет то же самое координатное выражение (с точностью до знака), есть просто следствие факта, что метрика g обычно является единичной матрицей.
Диагонализация и декомпозиция
Для любой положительно определённой вещественной симплектической матрицы S существует U в U(2n,R), такая, что
Если вместо M взять 2n×2nматрицу с комплексными элементами, определение в литературе не стандартизировалось. Многие авторы[4] уточняют приведённое выше определение до
(2)
,
где M* означает эрмитово сопряжение матрицы M. В этом случае определитель может и не равняться 1, но имеет абсолютную величину 1. В случае 2×2 (n=1), M будет произведением симплектической матрицы на комплексное число с абсолютным значением 1.
Другие авторы[5] сохраняют определение (1) для комплексных матриц, а матрицы, удовлетворяющие условию (2), называют сопряжёнными симлпектическими матрицами.
H. G. Xu. An SVD-like matrix decomposition and its applications // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Июль (т. 368). — С. 1–24. — doi:10.1016/S0024-3795(03)00370-7.
D. S. Mackey, N. Mackey. On the Determinant of Symplectic Matrices. — Manchester, England: Manchester Centre for Computational Mathematics, 2003. — Т. 422. — (Numerical Analysis Report).