PROFILPELAJAR.COM

Многочлены Лагерра
Многочлены Лагерра
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Названы в честь	Лагерр, Эдмон Никола

В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра^[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как $L_{0},\;L_{1},\;\ldots$ , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

$n$	$L_{n}(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)$