Многочлены Роджерса , называемые также многочленами Роджерса — Аски — Исмаила и непрерывными q-ультрасферическими многочленами , — это семейство ортогональных многочленов , которые ввёл Леонард Джеймс Роджерс[ 1] [ 2] [ 3] тождествами Роджерса — Рамануджана [англ.] q -аналогами ультрасферических многочленов и являются многочленами Макдональда [англ.] A 1 аффинной системы корней [англ.] [ 4]
Аски и Исмаил в 1983[ 5] [ 6]
Многочлены Роджерса можно определить в терминах убывающего символа Похгаммера и базисных гипергеометрических рядов [англ.]
C
n
(
x
;
β β -->
|
q
)
=
(
β β -->
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
e
i
n
θ θ -->
2
ϕ ϕ -->
1
(
q
− − -->
n
,
β β -->
;
β β -->
− − -->
1
q
1
− − -->
n
;
q
,
q
β β -->
− − -->
1
e
− − -->
2
i
θ θ -->
)
{\displaystyle C_{n}(x;\beta |q)={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}e^{in\theta }{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},\beta ;\beta ^{-1}q^{1-n};q,q\beta ^{-1}e^{-2i\theta })}
где x = cos(θ ).
↑ Rogers, 1892 .↑ Rogers, 1893 .↑ Rogers, 1894 .↑ Macdonald, 2003 , с. 156.↑ Askey, Ismail, 1983 .↑ Gasper, Rahman, 2004 , с. 7.4.
Richard Askey, Mourad E. H. Ismail. A generalization of ultraspherical polynomials // Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán. / Paul Erdős. — Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1983. — С. 55–78. — ISBN 978-3-7643-1288-6 .George Gasper, Mizan Rahman. Basic hypergeometric series. — Cambridge University Press , 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-83357-8 . — doi :10.2277/0521833574 .Macdonald I. G. Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials. — Cambridge University Press , 2003. — Т. 157. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-82472-9 . — doi :10.1017/CBO9780511542824 .Rogers L. J. On the expansion of some infinite products // Proc. London Math. Soc.. — 1892. — Т. 24 , вып. 1 . — С. 337–352 . — doi :10.1112/plms/s1-24.1.337 .Rogers L. J. Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1893. — Т. 25 , вып. 1 . — С. 318–343 . — doi :10.1112/plms/s1-25.1.318 .Rogers L. J. Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1894. — Т. 26 , вып. 1 . — С. 15–32 . — doi :10.1112/plms/s1-26.1.15 .
