Marele icosidodecaedru snub inversat
În geometrie marele icosidodecaedru snub inversat este un poliedru stelat uniform , cu indicele U69 . Are 92 de fețe (80 triunghiuri și 12 pentagrame ), 150 de laturi și 60 de vârfuri .[ 1] [ 2]
Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin simbolul Wythoff | 5/3 2 3[ 1] simbolul Schläfli sr{5/3,3}.
Este un poliedru snub , membru al unei familii care cuprinde marele icosaedru , marele dodecaedru stelat și marele icosidodecaedru .
Coordonate carteziene
coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr impar de semne minus ale
(
± ± -->
2
α α -->
,
± ± -->
2
,
± ± -->
2
β β -->
)
{\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
+
1
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
+
φ φ -->
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
− − -->
φ φ -->
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
β β -->
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
+
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}
unde
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
secțiunea de aur ,
ξ ξ -->
{\displaystyle \xi }
rădăcină reală (pozitivă) a polinomului
ξ ξ -->
3
− − -->
2
ξ ξ -->
+
φ φ -->
− − -->
1
,
≈ ≈ -->
1
,
2224727
,
{\displaystyle \xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1},\,\approx 1,2224727,}
[ 3]
α α -->
=
ξ ξ -->
− − -->
ξ ξ -->
− − -->
1
{\displaystyle \alpha =\xi -\xi ^{-1}}
β β -->
=
− − -->
ξ ξ -->
φ φ -->
− − -->
1
+
φ φ -->
− − -->
2
− − -->
(
ξ ξ -->
φ φ -->
)
− − -->
1
.
{\displaystyle \beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.}
Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.[ 4]
Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este[ 2]
R
=
1
2
2
− − -->
x
1
− − -->
x
≈ ≈ -->
0
,
816081
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,816081}
unde
x
=
0
,
399021
{\displaystyle x=0,399021}
x
3
+
2
x
2
− − -->
φ φ -->
− − -->
2
{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}}
[ 5]
O altă relație pentru calculul razei circumscriese se bazează pe rădăcinile reale pozitive ale polinomului de gradul al șaselea în
R
2
,
{\displaystyle R^{2},}
4096
R
12
− − -->
27648
R
10
+
47104
R
8
− − -->
35776
R
6
+
13872
R
4
− − -->
2696
R
2
+
209
=
0
{\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}
ale cărei rădăcini reale sunt: R 1 = 0,580002R 2 = 0,645020R 3 = 0,816081R 4 = 2,15584[ 6] marelui icosidodecaedru retrosnub (U74 ), marelui icosidodecaedru snub (U57 ), marelui icosidodecaedru snub inversat (U69 ) și a dodecaedrului snub (U29 ).
Volum
Volumul său, V , este dat de una dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în
x
2
{\displaystyle x^{2}}
2176782336
x
12
− − -->
3195335070720
x
10
+
162223191936000
x
8
+
1030526618040000
x
6
+
6152923794150000
x
4
− − -->
182124351550575000
x
2
+
187445810737515625.
{\displaystyle {\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}}
Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt x 1 = 1,03760x 2 = 2,71387x 3 = 7,67390x 4 = 37,6166[ 7] 74 ), marelui icosidodecaedru snub (U57 ), marelui icosidodecaedru snub inversat (U69 ) și al dodecaedrului snub (U29 ).
Ca urmare, volumul este
V
≈ ≈ -->
7
,
67390
a
3
{\displaystyle V\approx 7,67390~a^{3}}
unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).
Dual: marele hexacontaedru pentagonal inversat
Poliedru dual
Dualul său este marele hexacontaedru pentagonal inversat .[ 2] [ 8]
Note
^ a b c d e en Maeder, Roman. „69: great inverted snub icosidodecahedron” . MathConsult . Accesat în 21 octombrie 2023 .
^ a b c Eric W. Weisstein , Great Inverted Snub Icosidodecahedron MathWorld .
^ en equation solver , wolframalpha.com, accesat 2023-10-22^ en Skilling, John (1975 ), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society A , 278 (1278): 111–135, doi :10.1098/rsta.1975.0022 ^ en equation solver , wolframalpha.com, accesat 2023-10-22^ en solver ^ en equation solver , wolframalpha.com, accesat 2023-10-21^ en Wenninger, Magnus (1983 ), Dual Models , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208
