Icosidodecadodecaedru snub
În geometrie icosidodecadodecaedrul snub este un poliedru stelat uniform , cu indicele U46 . Are 104 de fețe (80 triunghiuri , 12 pentagoane și 12 pentagrame ), 180 de laturi și 60 de vârfuri .[ 1]
Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin simbolul Wythoff | 5/3 3 5.[ 1]
Coordonate carteziene
coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus ale
(
± ± -->
2
α α -->
,
± ± -->
2
γ γ -->
,
± ± -->
2
β β -->
)
{\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2\gamma ,\,\pm 2\beta \,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
+
γ γ -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
+
γ γ -->
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
γ γ -->
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\gamma \varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma )\,\right)}
(
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
+
γ γ -->
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
γ γ -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
− − -->
γ γ -->
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma ),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
(
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
γ γ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
γ γ -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
+
γ γ -->
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma ),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
γ γ -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
+
γ γ -->
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
+
γ γ -->
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma )\,\right)}
unde
φ φ -->
=
1
+
5
2
≈ ≈ -->
1
,
618034
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618034}
secțiunea de aur ,
ρ ρ -->
≈ ≈ -->
1
,
324718
{\displaystyle \rho \approx 1,324718}
[ 2] rădăcina reală a polinomului
ρ ρ -->
3
− − -->
ρ ρ -->
− − -->
1
{\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1}
α α -->
=
ρ ρ -->
+
1
=
ρ ρ -->
3
≈ ≈ -->
2
,
324718
{\displaystyle \alpha =\rho +1=\rho ^{3}\approx 2,324718}
β β -->
=
φ φ -->
2
ρ ρ -->
4
+
φ φ -->
≈ ≈ -->
9
,
680520
{\displaystyle \beta =\varphi ^{2}\rho ^{4}+\varphi \approx 9,680520}
γ γ -->
=
ρ ρ -->
2
+
φ φ -->
ρ ρ -->
≈ ≈ -->
3
,
898317
{\displaystyle \gamma =\rho ^{2}+\varphi \rho \approx 3,898317}
Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.[ 3]
Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este dată de relația:[ 4]
1
2
2
ρ ρ -->
− − -->
1
ρ ρ -->
− − -->
1
≈ ≈ -->
1
,
126898.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}\approx 1,126898.}
Volum
Volumul său, V , este dat de rădăcina reală pozitivă a polinomului de gradul al treilea în
x
2
{\displaystyle x^{2}}
729
x
6
− − -->
155520
x
4
− − -->
10125
x
2
− − -->
33153125.
{\displaystyle 729x^{6}-155520x^{4}-10125x^{2}-33153125.}
Ca urmare, volumul este:[ 5]
V
≈ ≈ -->
14
,
64198
a
3
{\displaystyle V\approx 14,64198~a^{3}}
unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).
Dual: hexacontaedru hexagonal medial
Poliedru dual
Dualul său este hexacontaedrul hexagonal medial .[ 6] [ 7]
Note
^ a b c d e en Roman, Maeder. „46: snub icosidodecadodecahedron” . MathConsult . Accesat în 23 octombrie 2023 .
^ en Equation solver , wolframalpha.com, accesat 2023-10-23^ en Skilling, John (1975 ), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society A , 278 (1278): 111–135, doi :10.1098/rsta.1975.0022 ^ en Eric W. Weisstein , Snub Icosidodecadodecahedron MathWorld .^ en Equation solver , wolframalpha.com, accesat 2023-10-23^ en Eric W. Weisstein , Medial Hexagona Hexecontahedron MathWorld .^ en Wenninger, Magnus (1983 ), Dual Models , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208
