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Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930.

Definição e primeiras propriedades

Uma álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ é um tipo de álgebra sobre um corpo; é um espaço vetorial sobre um corpo F juntamente com uma operação binária ( $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ , chamada de comutador, ou colchete de Lie), que satisfaz os seguintes axiomas:

Bilinearidade:
$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

para todos escalares $a$ , $b$ em F e todos elementos $x$ , $y$ , $z$ em ${\mathfrak {g}}.$
Anticomutatividade:
$[x,y]=-[y,x]\,$

para todos elementos $x$ , $y$ em ${\mathfrak {g}}.$ Quando F for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte

$[x,x]=0$

para todo x em ${\mathfrak {g}}.$
A identidade de Jacobi:
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad$

para todos $x$ , $y$ , $z$ em ${\mathfrak {g}}.$

Para qualquer álgebra associativa A com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie L(A). Como espaço vetorial, L(A) coincide com A. O colchete de Lie de L(A) é definido como sendo o seu comutador em A:

[a,b]=a*b-b*a.

A associatividade da multiplicação * em A implica a identidade de Jacobi para o comutador em L (A). Em particular, a álgebra associativa das matrizes n' × n sobre um corpo F dá origem ao grupo linear geral ${\mathfrak {gl}}_{n}(F).$ A álgebra associativa A é chamada de uma álgebra envolvente da álgebra de Lie L (A).

É sabido que cada álgebra de Lie pode ser mergulhada em uma álgebra que é definida, desta forma, a partir de uma álgebra associativa.

Exemplos

Qualquer espaço vetorial V dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de abelianas. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela antisimetria do colchete de Lie.
O espaço euclidiano tridimensional R³ munido do colchete de Lie dado pelo produto vetorial de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.
A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores x,y,z, cujas relações de comutação são da forma

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0.\,

Qualquer grupo de Lie G define uma álgebra de Lie associada ${\mathfrak {g}}=Lie(G).$

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ consiste das matrizes X da forma :: $\exp(tX)\in G\,$ : para todos t's reais. A álgebra de Lie de ${\mathfrak {g}}$ é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o grupo linear especial SL(n,R), consistindo das matrizes n × n com entradas reais e determinante 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes n × n reais e com Traço zero.

Relação com grupos de Lie

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para uma representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão biunivocamente correspondidas.

Referências

San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
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(2010) Videoaulas sobre Álgebra de Lie Videoteca do Instituto de Física da USP, professor Roldão da Rocha Jr.