O traço de uma matrix 4x4 destacado em vermelho. Por definição, ele corresponde à soma dos elementos da diagonal principal.
Na álgebra linear , o traço de uma matriz quadrada é a função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da sua diagonal principal .[ 1] Se A =[a ij ], então
t
r
(
A
)
=
a
11
+
a
22
+
⋯ ⋯ -->
+
a
n
n
{\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}\,}
.
O traço de uma aplicação linear num espaço vectorial de dimensão finita é o traço da matriz que representa essa aplicação em relação a uma dada base . Este traço está bem definido porque o traço de uma matriz é invariante por semelhanças (o que é uma consequência do facto de que tr(AB )=tr(BA ), para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).
Propriedades
t
r
(
A
+
B
)
=
t
r
(
A
)
+
t
r
(
B
)
{\displaystyle tr(A+B)=tr(A)+tr(B)}
[ 2]
t
r
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
A
)
=
α α -->
⋅ ⋅ -->
t
r
(
A
)
{\displaystyle tr(\alpha \cdot A)=\alpha \cdot tr(A)}
, para
α α -->
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} }
[ 2]
o traço de uma matriz quadrada é igual ao da sua transposta :
t
r
(
A
)
=
t
r
(
A
t
)
{\displaystyle tr(A)=tr(A^{t})}
o traço de uma matriz simétrica é igual à soma dos seus valores próprios (autovalores).[ 3]
o traço de um produto de matrizes quadradas não depende da ordem do produto:
t
r
(
A
B
)
=
t
r
(
B
A
)
{\displaystyle tr(AB)=tr(BA)}
[ 2]
Seja
{
e
k
}
k
=
1
n
{\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{n}}
uma base ortonormal para o espaço linear em questão, então a definição pode ser reescrita como:
tr
(
A
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
⟨ ⟨ -->
A
e
k
,
e
k
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle {\hbox{tr}}(A)=\sum _{k=1}^{n}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \,}
Generalização
Seja
H
{\displaystyle H\,}
um espaço de Hilbert separável e
{
e
k
}
k
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }\,}
uma família ortonormal densa em
H
{\displaystyle H\,}
. O traço de um operador
A
:
H
→ → -->
H
{\displaystyle A:H\to H\,}
é definido como:
tr
(
A
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
⟨ ⟨ -->
A
e
k
,
e
k
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle {\hbox{tr}}(A)=\sum _{k=1}^{\infty }\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \,}
contanto que a série :
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
‖ ‖ -->
A
e
k
‖ ‖ -->
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\|Ae_{k}\|\,}
venha a convergir.
Um operador para o qual o traço está definido é chamado de operador classe tracial e é sempre compacto .
Ligações externas
Álgebra Linear e suas aplicações (ebook gratuito)
Referências