Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}=(K,+,\cdot )}$ będzie kratą rozdzielną. Jeśli ${\displaystyle F\subseteq K}$ jest filtrem i ${\displaystyle a\in K\setminus F,}$ to istnieje ideał pierwszy ${\displaystyle C}$ rozłączny z ${\displaystyle F}$ i zawierający ${\displaystyle a.}$

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie ${\displaystyle M_{3},}$ potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

• W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
• W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}},F{\mbox{ i }}a}$ będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{C\subseteq K:\,a\in C,\;C\cap F=\varnothing ,\;C{\mbox{ – ideał}}\,\}}$

Jak łatwo sprawdzić, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny ${\displaystyle C.}$ Jest on ideałem rozłącznym z ${\displaystyle F}$ zawierającym ${\displaystyle a.}$ Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych ${\displaystyle c,d\in K}$ zachodzi ${\displaystyle c\cdot d\in C,\;c,d\not \in C.}$ Niech teraz ${\displaystyle C_{c}{\mbox{ i }}C_{d}}$ będą minimalnymi ideałami zawierającymi ${\displaystyle C\cup \{c\}}$ i ${\displaystyle C\cup \{d\},}$ odpowiednio. Wówczas, ${\displaystyle C_{c},\;C_{d}\,\not \in {\mathcal {F}},}$ skąd ${\displaystyle F\cap C_{c},\,F\cap C_{d}\neq \varnothing .}$ Niech zatem ${\displaystyle f_{c},f_{d}\in F}$ będą takie, że ${\displaystyle f_{c}\in F\cap C_{c}}$ i ${\displaystyle f_{d}\in F\cap C_{d}.}$ Istnieją wówczas takie ${\displaystyle x_{c},x_{d}\in C,}$ że ${\displaystyle f_{c}\leqslant x_{c}+c}$ i ${\displaystyle f_{d}\leqslant x_{d}+d.}$ Wówczas jednak ${\displaystyle f=f_{c}\cdot f_{d}\leqslant x_{c}+c,\,x_{d}+d\leqslant (x_{c}+x_{d})+c,\,(x_{c}+x_{d})+d,}$ skąd

${\displaystyle f\leqslant [(x_{c}+x_{d})+c]\cdot [(x_{c}+x_{d})+d]=[(x_{c}+x_{d})+c\cdot d]\in C,}$

co oznacza, iż ${\displaystyle f\in C\cap F}$ przecząc wyborowi ${\displaystyle C.}$ Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie kratą nieskończoną i niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {K}}}$ będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem ${\displaystyle \{\mathbf {p} _{x}\colon x\in K\}}$ jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór ${\displaystyle X}$ formuł zdaniowych w tym języku:

${\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y},\,x\geqslant y}$

${\displaystyle \mathbf {CK} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}\mathbf {p} _{x+y}}$

${\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {p} _{x\cdot y}\mathbf {A} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {N} \mathbf {p} _{x},\,x\in F}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{a}}$

gdzie ${\displaystyle x,y\in K.}$

Niech teraz ${\displaystyle X_{0}}$ będzie skończonym podzbiorem zbioru ${\displaystyle X.}$ Możemy założyć, że ${\displaystyle \mathbf {p} _{a}\in X_{0}.}$ Niech dalej ${\displaystyle K_{0}}$ będzie zbiorem tych elementów ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle K,}$ dla których ${\displaystyle \mathbf {p} _{x}}$ występuje w ${\displaystyle X_{0}.}$ Wówczas podkrata ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}}$ wyznaczona przez zbiór ${\displaystyle K_{0},}$ będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej ${\displaystyle F_{0}}$ będzie filtrem wyznaczonym przez ${\displaystyle F\cap K_{0}}$ w kracie ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}.}$ ${\displaystyle a\not \in F_{0}.}$ Istnieje więc ideał pierwszy ${\displaystyle C_{0}}$ kraty ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0},}$ który jest rozłączny z ${\displaystyle F_{0}}$ i zawiera ${\displaystyle a.}$ Niech teraz ${\displaystyle v_{0}(\mathbf {p} _{x})=1\;\Leftrightarrow \;x\in C_{0}.}$ Nietrudno wykazać, że ${\displaystyle v_{0}}$ spełnia wszystkie formuły ze zbioru ${\displaystyle X_{0}.}$ Wobec dowolności zbioru ${\displaystyle X_{0},}$ oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru ${\displaystyle X}$ jest spełnialny. Niech zatem ${\displaystyle v}$ spełnia wszystkie formuły zbioru ${\displaystyle X.}$ Wówczas ${\displaystyle C=\{a\colon v(\mathbf {p} _{a})=1\,\}}$ jest szukanym ideałem pierwszym kraty ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

• twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a
• twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa (równoważne z BPI w klasie zwartych przestrzeni Hausdorffa)
• aksjomat wyboru dla rodzin zbiorów skończonych
• twierdzenie Arzeli-Ascolego (równoważne z BPI)^[1]
• twierdzenie Hahna-Banacha, a to pociąga
  • istnienie niemierzalnego w sensie Lebesgue’a podzbioru prostej^[2]
  • paradoks Banacha-Tarskiego^[3]
• twierdzenie o zwartości dla klasycznego rachunku zdań (równoważne z BPI)
• istnienie ultrafiltru w kracie wszystkich zbiorów otwartych niepustej przestrzeni topologicznej^[4] (równoważne z BPI).

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”^[5].

• Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.