Ideał pierwszy (teoria pierścieni)

Ideał pierwszy – taki ideał właściwy pierścienia przemiennego z jedynką, dla którego z należenia do niego iloczynu dwóch danych elementów pierścienia wynika przynależność do niego choć jednego z czynników, tzn. ideał $I$ pierścienia $R$ nazywany jest pierwszym, gdy z należenia $ab\in I$ wynika, że $a\in I$ lub $b\in I\ (a,b\in R).$

Ideały pierwsze to w pewnym sensie te ideały, dla których zachodzi teza lematu Euklidesa o podzielności liczb całkowitych, tzn. odgrywają one rolę liczb pierwszych w teorii pierścieni. Pojęcie ideału pierwszego znajduje zastosowania w geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Z danym pierścieniem przemiennym z jedynką można w naturalny sposób stowarzyszyć pewną przestrzeń topologiczną, której punktami są ideały pierwsze, a zbiorami domkniętymi są zbiory wszystkich ideałów pierwszych zawierających ustalony podzbiór pierścienia. Przestrzeń ta nazywana jest spektrum pierwszym pierścienia $R$ i oznaczana symbolem Spec $R$ ^[1].

Właściwości

Ideał $I$ pierścienia $R$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie zawiera dzielników zera, czyli jest dziedziną całkowitości.
Każdy ideał maksymalny pierścienia przemiennego z jedynką jest jego ideałem pierwszym.
Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy.
Przeciwobraz ideału pierwszego w homomorfizmie pierścieni jest ideałem pierwszym.
Pierścień przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub równoważnie: gdy ideał zerowy jest maksymalny).
W (nietrywialnym) pierścieniu przemiennym z jedynką każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Jeśli pierścień jest skończony, to pojęcia ideału pierwszego i maksymalnego się pokrywają.
Każdy ideał pierwszy zawiera pewien minimalny ideał pierwszy. Dowód polega na zastosowaniu lematu Kuratowskiego-Zorna do rodziny wszystkich niezerowych ideałów zawartych w danym ideale pierwszym, uporządkowanej przez relację odwróconej inkluzji.

Przykłady

W pierścieniu wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych $\mathbb {C} [X,Y]$ ideał generowany przez wielomian $Y^{2}-X^{3}-X-1$ jest pierwszy.
W pierścieniu $\mathbb {Z} [X]$ wielomianów o współczynnikach całkowitych $\langle 2,X\rangle$ jest ideałem pierwszym. Składa się on ze wszystkich wielomianów, których wyraz wolny jest parzysty.
W pierścieniu wielomianów nad ciałem ideałami pierwszymi są ideały główne generowane przez wielomiany nierozkładalne.

Zobacz też

Przypisy

↑ M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.

Bibliografia

Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 9, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1969.

Read other articles:

The Lodger (novel)

1913 novel by Marie Adelaide Belloc Lowndes The Lodger Title card of the 1911 short storyAuthorMarie Belloc LowndesIllustratorHenry Raleigh (short story)LanguageEnglishPublisher McClure's Magazine (1911) Methuen Publishing (1913) Publication date 1911 (short story) 1913 (novel) The Lodger is a novel by English author Marie Adelaide Belloc Lowndes. The short story was first published in the January, 1911[1] edition of McClure's Magazine, in 1911. Belloc Lowndes wrote a longer version o...

Mattamy National Cycling Centre

Indoor velodrome in Milton, Ontario, Canada This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (September 2022) (Learn how and when to remove this template message) Mattamy National Cycling CentreMatta...

Wang Mei-hua

Wang Mei-hua王美花Wang Mei-hua pada 2014 Wakil Menteri Urusan Ekonomi Republik TiongkokPetahanaMulai menjabat Juli 2016MenteriLee Chih-kungWakilShen Jong-chin Informasi pribadiLahirTanggal tidak terbaca. Angka tahun harus memiliki 4 digit (gunakan awalan nol untuk tahun < 1000). (usia Kesalahan ekspresi: Operator < tak terduga)TaiwanKebangsaanRepublik TiongkokSuami/istriWellington KooAlma materUniversitas Taiwan NasionalSunting kotak info • L • B Wang Mei-hua (Hanzi...

Синелобый амазон

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

Gozan no Okuribi

Api Daimonji di Nyoigatake, Kyoto Gozan no Okuribi (五山送り火code: ja is deprecated , Api perpisahan 5 gunung) adalah penyalaan api unggun yang disusun membentuk aksara kanji, serta bentuk perahu, dan torii di 5 gunung sekeliling kota Kyoto, Jepang. Tradisi ini merupakan puncak perayaan Obon di Kyoto, dan dilangsungkan setiap tanggal 16 Agustus. Tradisi menyalakan okuribi (api untuk mengantar kepulangan para arwah) dimaksudkan untuk mengantar kepulangan arwah yang dipercaya mendatangi r...

Человек прямоходящий

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

趙家驤

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)（47—48歲） † 中華民國福建省金門縣国籍中華民國政党中國國民黨获奖青天白日勳章（追贈）军事背景效忠中華民國服役國民革命軍中華民國陸軍服役时间1924年－1958年军衔二級上將（追晉）部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

Serious game

Video game genre Not to be confused with professional gaming team Serious Gaming. This article contains weasel words: vague phrasing that often accompanies biased or unverifiable information. Such statements should be clarified or removed. (April 2022) Part of a series on theVideo game industry Development Producer Developer Designer Artist Programmer Design Level design Programming Engine AI Graphics Music Testing Products Video game Specialized / alternative-paradigmatic types: Casual Eroti...

Illusion (video game series)

Series of platforming video games licensed by Disney This article is about the video game series. For other uses, see Illusion (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Illusion video game series – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2011) (Learn how and when to rem...

Texas secession movements

Movement that advocates Texas to be an independent sovereign state Texit redirects here. For the proposed legislation, see Texas Independence Referendum Act. Flag of Texas Texas secession movements, also known as the Texas independence movement or Texit,[1][2] refers to both the secession of Texas during the American Civil War as well as activities of modern organizations supporting such efforts to secede from the United States and become an independent sovereign state. The U....

Financial Markets Authority (New Zealand)

Financial regulator in New Zealand Financial Markets AuthorityAgency overviewFormed1 May 2011 (2011-May-01)Preceding agencySecurities Commission of New ZealandJurisdictionNew ZealandHeadquartersWellington, New ZealandAgency executivesMark Todd, ChairmanSamantha Barrass, Chief executiveWebsitewww.fma.govt.nz The Financial Markets Authority (FMA, Maori:Te Mana Tātai Hokohoko) is a New Zealand government agency responsible for financial regulation. It is responsible for regulatin...

Hadiah Ig Nobel

Kodok hidup yang diapungkan secara magnetik oleh Sir Andre Geim dari Universitas Nijmegen dan Sir Michael Berry dari Universitas Bristol. Geim juga penerima penghargaan Nobel bidang Fisika pada penelitian mengenai grafena, menjadi satu-satunya yang menerima penghargaan Nobel dan Ig Nobel[1][2] Penghargaan Ig Nobel adalah sebuah parodi dari penghargaan Nobel yang mengkhususkan pada hasil penelitian yang pada awalnya membuat masyarakat tertawa, lalu membuat mereka berpikir. Peng...

Berlin Thunder (ELF)

European League Football Team This article is about the new American football team playing in the European League of Football. For the old NFL Europe team, see Berlin Thunder (NFL Europe). Berlin Thunder Established2021 (2021)Based in Berlin, GermanyHome stadiumFriedrich-Ludwig-Jahn-SportparkHead coachJohnny SchmuckGeneral managerDiana HogeLeagueEuropean League of Football (ELF)DivisionEastern ConferenceColorsRed, gold, white Websiteberlinthunder.deCurrent uniform̳...

Harald Høffding

Danish philosopher and theologian (1843–1931) This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Harald Høffding – news · newspapers · books · scholar&...

Dorking

Market town in Surrey, England This article is about the market town in Surrey. For other uses, see Dorking (disambiguation). Market town in EnglandDorkingMarket townView northeast from The Nower towards Dorking town centre and Box HillDorkingLocation within SurreyArea6.57 km2 (2.54 sq mi) town wards[1]Population11,158 town wards only[1] 17,098 wider built-up area[2] (2011 census)• Density1,698/km2 (4,400/sq mi)OS grid ref...

Ramonchamp

Peta infrastruktur dan tata guna lahan di Komune Ramonchamp = Kawasan perkotaan = Lahan subur = Padang rumput = Lahan pertanaman campuran = Hutan = Vegetasi perdu = Lahan basah = Anak sungai]] Ramonchamp merupakan sebuah komune di departemen Vosges yang terletak pada sebelah timur laut Prancis. Lihat pula Komune di departemen Vosges Referensi INSEE lbsKomune di departemen Vosges Les Ableuvenettes Ahéville Aingeville Ainvelle Allarmont A...

Jamaica Bay Wildlife Refuge

Wildlife refuge in New York City Jamaica Bay Wildlife RefugeVisitor centerJamaica Bay Unit of theGateway National Recreation AreaLocationNew York City, United StatesCoordinates40°36′57″N 73°49′48″W / 40.6158°N 73.83°W / 40.6158; -73.83Area9,155 acres (37.05 km2)Established1972Governing bodyNational Park ServiceWebsiteJamaica Bay Wildlife Refuge Jamaica Bay Wildlife Refuge is a wildlife refuge in New York City managed by the National Park Service ...

Maladewa

Republik Maladewaދިވެހިރާއްޖޭގެ ޖުމްހޫރިއްޔާDhivehi Raajjeyge Jumhooriyya (Divehi) جُمْهُورِيَّةُ جُزُرِ الْمَالْدِيفِ Jumhūriyyat Juzur al-Maldiv (Arab) Republic of Maldives (Inggris) Bendera Lambang Semboyan: —Lagu kebangsaan: ޤައުމީ ސަލާމް Qaumii salaam (Indonesia: Kehormatan negara) Perlihatkan BumiPerlihatkan peta BenderaIbu kota(dan kota terbesar)Malé4°10′N 73°30′E / 4.167°N 73.5...

Angeliño

Nama ini menggunakan cara penamaan Spanyol: nama keluarga pertama atau paternalnya adalah Esmorís dan nama keluarga kedua atau maternalnya adalah Tasende. Angeliño Informasi pribadiNama lengkap José Ángel Esmorís Tasende[1]Tanggal lahir 4 Januari 1997 (umur 27)[2]Tempat lahir Coristanco, SpanyolTinggi 170 cm (5 ft 7 in)[3]Posisi bermain Bek kiri / Gelandang kiri[4]Informasi klubKlub saat ini GalatasarayNomor 3Karier junior2001–20...

Ferrari Enzo

artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat dilakukan dengan wikifikasi atau membagi artikel ke paragraf-paragraf. Jika sudah dirapikan, silakan hapus templat ini. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menamba...