PROFILPELAJAR.COM

Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par $(x,y)$ i $(y,x)$ dla różnych $x$ i $y.$

Formalnie relację dwuczłonową $\varrho \subset X\times X$ nazywa się antysymetryczną, gdy:

\forall _{x,y\in X}(x\;\varrho \;y\land y\;\varrho \;x\;\Rightarrow \;x=y).

Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).

Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla $x\neq y$ przynajmniej jedna z par $(x,y)$ i $(y,x)$ nie należy do relacji).

Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski^[1] podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz^[2] używają drugiej.

Przykłady

Relacja równości w dowolnym zbiorze.
Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne:

Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Przypisy

↑ Wojciech Guzicki; Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. Strona 173. ISBN 83-01-14415-7.
↑ Wiktor Marek; Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, wydanie 2., strona 38.