Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów^[1], produkt kartezjański^[2] – dla danych zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zbiór wszystkich takich par uporządkowanych ${\displaystyle (a,b),}$ że ${\displaystyle a}$ należy do zbioru ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle b}$ należy do zbioru ${\displaystyle B}$^[3][4]. Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle A\times B}$^[4][5].

Nazwa iloczyn kartezjański odnosi się do francuskiego matematyka Kartezjusza^[6]. Nieprzypadkowe jest też skojarzenie z kartezjańskim układem współrzędnych. Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (zbiór liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} }$) jest iloczynem kartezjańskim ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,}$ przy czym ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ każdy punkt płaszczyzny można utożsamić z uporządkowaną parą współrzędnych (liczb rzeczywistych)^[2].

Iloczynem kartezjańskim zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle A\times B=\left\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\right\}.}$^[a]

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie ${\displaystyle A\times B\times C}$ to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C.}$ Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich^[7][8], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C.}$ Przy drugim^[9] jako ${\displaystyle A\times B\times C}$ bierze się ${\displaystyle A\times (B\times C),}$ a zatem trójka to para par: ${\displaystyle (a,(b,c)).}$ Formalnie zbiór ${\displaystyle A\times B\times C}$ zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór ${\displaystyle A\times (B\times C)}$ nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia^[b][10][11].

Podobnie ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D.}$ Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D,}$
• jako pary par ${\displaystyle \{a,\{b,\{c,d\}\}\},}$ wówczas iloczyn ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ określa się jako ${\displaystyle A\times (B\times (C\times D)).}$

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Niech dane będą zbiory ${\displaystyle A=\{x,y\}}$ oraz ${\displaystyle B=\{1,2,3\}.}$ Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zgodnie z definicją jest równy:

${\displaystyle A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.}$

Zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} }$ służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Niech ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą skończonymi zbiorami. Jeśli ${\displaystyle \vert A\vert =n}$ oraz ${\displaystyle \vert B\vert =m,}$ to ${\displaystyle \vert A\times B\vert =nm.}$

Dowód tego faktu można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na ${\displaystyle n.}$ Jeżeli ${\displaystyle n=1,}$ to ${\displaystyle A=\{a\},}$ przy czym ${\displaystyle a}$ jest jedynym elementem zbioru ${\displaystyle A.}$ Wówczas wprost z definicji ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid b\in B\}.}$ Zbiór ten jest równoliczny z ${\displaystyle B,}$ ponieważ przekształcenie ${\displaystyle b\mapsto (a,b)}$ jest bijekcją między tymi zbiorami. Zatem w tym przypadku ${\displaystyle \vert A\times B\vert =m=1\cdot m.}$

Ponadto, jeżeli pewna liczba ${\displaystyle n\geq 1}$ ma tę własność, że ${\displaystyle \vert A\times B\vert =nm}$ dla każdego ${\displaystyle A}$ takiego, że ${\displaystyle \vert A\vert =n}$ oraz dla każdego ${\displaystyle \vert B\vert =m,}$ to tę własność ma także liczba ${\displaystyle n+1.}$ Istotnie, można przedstawić ${\displaystyle (n+1)}$-elementowy zbiór ${\displaystyle A}$ w postaci sumy rozłącznych zbiorów ${\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\cup \{a_{n+1}\}.}$ Wtedy z definicji sumy zbiorów zachodzą równości

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times B&=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\lor a\in \{a_{n+1}\})\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B)\lor (a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B)\}=\\&=\{(a,b)\mid a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B\}\cup \{(a,b)\mid a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B\}=\\&=\left(\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\times B\right)\cup \left(\{a_{n+1}\}\times B\right).\end{aligned}}}$

Pierwszy z tych zbiorów ma z założenia indukcyjnego ${\displaystyle nm}$ elementów. Z kolei drugi ze zbiorów ma (na mocy rozumowania przeprowadzonego dla ${\displaystyle n=1}$) ${\displaystyle m}$ elementów. Ponieważ wobec rozłączności ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}}$ oraz ${\displaystyle \{a_{n+1}\}}$ zbiory te są rozłączne i sumują się do ${\displaystyle A\times B,}$ zachodzi równość ${\displaystyle \vert A\times B\vert =nm+m=(n+1)m.}$ To kończy dowód indukcyjny.

Dla rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji^[12]

${\displaystyle f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$

takich że ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i\in I}$ nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ i oznacza takimi symbolami jak

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\times }}A_{i}}$ lub ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.}$

• m-produkt
• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia produktowa
• zbiór potęgowy

• Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa; Wrocław: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, s. 51–53, 73, seria: Monografie matematyczne, t. 27. [dostęp 2016-10-24].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.