Swoją piłkarską karierę rozpoczynał w klubie MOSiR Jastrzębie-Zdrój, gdzie występował na pozycji napastnika[4]. W 2012 przeszedł do Gwarka Zabrze, w którego barwach reprezentował drużynę w ramach Centralnej Ligi Juniorów[5][6].
Cztery lata później podpisał kontrakt z Górnikiem Zabrze do czerwca 2020[5][7]. Początkowo Żurkowski rozgrywał mecze tylko w trzecioligowych rezerwach, jednak w kolejnym sezonie zadebiutował w składzie pierwszoligowej drużyny[8]. Wraz z awansem zabrzańskiego Górnika do Ekstraklasy, 15 sierpnia 2017 zadebiutował w najwyższej lidze rozgrywkowej, asystując przy zdobytym golu przeciwko Legii Warszawa wygranym przez zabrzański zespół 3:1. Łącznie w sezonie 2017/2018 wystąpił w 34 spotkaniach, w tym w 33 pojawił się w wyjściowej jedenastce[9].
28 stycznia 2019 Żurkowski podpisał kontrakt z ACF Fiorentiną[10]. Umowa związała go z włoskim klubem do 30 czerwca 2023, zaznaczając że do końca sezonu 2018/19 będzie występować nadal w barwach Górnika Zabrze[10].
30 stycznia 2020 został wypożyczony do Empoli FC[11]. Pierwszą bramkę w nowym klubie zdobył 17 lipca 2020, w przegranym 2:4 meczu z Virtus Entella.
12 stycznia 2023 został wypożyczony do Spezii Calcio, z obowiązkiem wykupu[12]. Trzy dni później zadebiutował w drużynie, wchodząc na boisko w 83. minucie ligowego spotkania przeciwko Torino FC, wygranego 1:0[13].
