Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków, upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ rozszerzony o dwa „punkty nieskończone” ${\displaystyle -\infty }$ i ${\displaystyle +\infty }$ oznacza się zwykle symbolami ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ lub ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol ${\displaystyle \pm \infty }$ będzie oznaczał dowolne z wyrażeń ${\displaystyle +\infty }$ bądź ${\displaystyle -\infty ,}$ w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol ${\displaystyle \mp \infty }$ w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol ${\displaystyle +\infty }$ zastępuje się symbolem ${\displaystyle \infty ,}$ należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu ${\displaystyle \infty }$ opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

W zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ zachodzi ${\displaystyle -\infty <a<+\infty .}$ Ponadto każdy niepusty podzbiór tego zbioru ma w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ (w przeciwieństwie do ${\displaystyle \mathbb {R} }$) kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą ${\displaystyle <}$ w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór ${\displaystyle U}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle +\infty }$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór ${\displaystyle \{x\colon a<x\}}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Analogicznie

zbiór ${\displaystyle V}$ nazywa się otoczeniem punktu ${\displaystyle -\infty }$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór ${\displaystyle \{x\colon x<a\}}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Wspomniana topologia sprawia, że ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym ${\displaystyle [0,1].}$ Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczne w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ rozszerza się w następujący sposób:

${\displaystyle -(+\infty )=-\infty ,}$

${\displaystyle -(-\infty )=+\infty ,}$

${\displaystyle c+(+\infty )=+\infty +c=+\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq -\infty ,}$

${\displaystyle c+(-\infty )=-\infty +c=-\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq +\infty ,}$

${\displaystyle c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\pm \infty }$ dla ${\displaystyle c>0,}$

${\displaystyle c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\mp \infty }$ dla ${\displaystyle c<0,}$

${\displaystyle {\tfrac {c}{\pm \infty }}=0}$ dla ${\displaystyle c\neq \pm \infty ,}$

${\displaystyle |{\tfrac {c}{0}}|=+\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq 0.}$

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia ${\displaystyle -\infty +(+\infty ),\;+\infty +(-\infty )}$ oraz ${\displaystyle 0/0}$ pozostają niezdefiniowane, podobnie jak ${\displaystyle 0\cdot (\pm \infty )}$ i ${\displaystyle (\pm \infty )\cdot 0}$ (patrz symbol nieoznaczony), choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Na zbiór ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową ${\displaystyle f(x,y)=x^{y},}$ gdzie korzystając z odpowiednich granic, przyjmuje się następujące definicje:

${\displaystyle {\begin{aligned}(+\infty )^{y}&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}y<0,\\{+\infty }&{\text{ dla }}y>0,\end{cases}}\\[.5em]x^{+\infty }&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}0<x<1,\\{+\infty }&{\text{ dla }}x>1,\end{cases}}\\[.5em]x^{-\infty }&={\begin{cases}+\infty &{\text{ dla }}0<x<1,\\0&{\text{ dla }}x>1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

W podobny sposób można rozszerzać wiele innych funkcji (zwykle nawet do funkcji ciągłych), np. funkcję wykładniczą ${\displaystyle \exp ,}$ logarytmiczną ${\displaystyle \ln ,}$ czy tangens ${\displaystyle \operatorname {tg} }$ itp., co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności” ${\displaystyle \infty }$ (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$ Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2};}$ z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{1}.}$

Symbol ${\displaystyle \infty }$ reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}.}$

Oprócz faktu, iż ${\displaystyle \infty }$ jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie ${\displaystyle \infty .}$

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów ${\displaystyle P,Q,R}$ istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na ${\displaystyle 0,1,\infty .}$ Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*},}$ tzn. dla dowolnego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}$ nie można powiedzieć ani, że ${\displaystyle x<\infty ,}$ ani też że ${\displaystyle x>\infty .}$ Jednak relacja porządku ${\displaystyle <}$ w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*},}$ jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu ${\displaystyle \infty ,}$ to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ przy czym ${\displaystyle a<b,}$ przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

${\displaystyle [a,a]=\{a\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;a\leqslant x\leqslant b\},}$

${\displaystyle [a,\infty ]=\{x\colon x\in R,\;a\leqslant x\}\cup \{\infty \},}$

${\displaystyle [b,a]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;b\leqslant x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},}$

${\displaystyle [\infty ,a]=\{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},}$

${\displaystyle [\infty ,\infty ]=\{\infty \}.}$

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{*}}$ można przyjąć

${\displaystyle x\in [a,b]\Leftrightarrow {\tfrac {1}{x}}\in \left[{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {1}{a}}\right]}$

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$ W topologii tej zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ tzn. metryki euklidesowej.

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

${\displaystyle -(\infty )=\infty ,}$

${\displaystyle c+\infty =\infty +c=\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq \infty ,}$

${\displaystyle c\cdot \infty =\infty \cdot c=\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq 0,}$

${\displaystyle {\tfrac {c}{\infty }}=0}$ dla ${\displaystyle c\neq \infty ,}$

${\displaystyle {\tfrac {c}{0}}=\infty }$ dla ${\displaystyle c\neq 0.}$

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Działania ${\displaystyle \infty /\infty ,\;0/0,\;\infty +\infty }$ oraz ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ są w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*},}$ o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów, można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$

W zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ funkcje wykładnicza ${\displaystyle \exp }$ i logarytmiczna ${\displaystyle \ln }$ są nieciągłe w punkcie ${\displaystyle \infty ,}$ natomiast można wykazać, że funkcje wymierne ${\displaystyle P(x)/Q(x),}$ gdzie ${\displaystyle P(x)}$ i ${\displaystyle Q(x)}$ są funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*},}$ w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna ${\displaystyle h(x)=1/x,}$ podobnie ciągła jest funkcja tangensa ${\displaystyle \operatorname {tg} ,}$ jeżeli przyjąć definicję:

${\displaystyle \operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \right)=\infty .}$

Funkcja homograficzna ${\displaystyle h(x)=1/x}$ nie jest ciągła w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }},}$ gdyż jej wartości dążą do ${\displaystyle +\infty }$ dla ${\displaystyle x\to 0^{+},}$ podczas gdy ${\displaystyle x\to 0^{-},}$ to dążą one do ${\displaystyle -\infty .}$ Utożsamiając w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ symbole ${\displaystyle +\infty }$ oraz ${\displaystyle -\infty ,}$ uzyskuje się zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$ W ten sposób funkcja ${\displaystyle h(x)}$ może być uznana za ciągłą w całym zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$ Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

${\displaystyle L_{1}=\lim _{x\to -\infty }~f(x)}$

oraz

${\displaystyle L_{2}=\lim _{x\to +\infty }~f(x)}$

w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji ${\displaystyle f(x)}$ w punkcie ${\displaystyle x=\infty }$ istnieje tylko wtedy, gdy ${\displaystyle L_{1}=L_{2}.}$ W zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak ${\displaystyle \exp ,}$ czy ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$ można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }},}$ nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}$

• dzielenie przez zero
• granica
• nieskończoność
• sfera Riemanna
• symbol nieoznaczony

• William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Wyd. 2. T. 2. Warszawa: PWN, 1978, s. 103 i nast.
• Krzysztof Maurin: Analiza. Wyd. 2. Cz. 2: Ogólne struktury, funkcje algebraiczne, całkowanie, analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1991, s. 386. ISBN 83-01-09941-0.
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1986, s. 15. ISBN 83-01-05124-8.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Projectively Extended Real Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.). – rozszerzenie jednopunktowe
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Affinitely Extended Real Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.). – rozszerzenie dwupunktowe