Problem Dirichleta

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim końcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}$

Chcemy ponadto

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

Podstawiając

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau )}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Spełnia go np. funkcja złożona

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

z ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$ więc w ogólności

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

gdzie ${\displaystyle g}$ jest funkcją periodyczną z okresem ${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )}$

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

• warunki brzegowe