Han var sønn av baker- og konditormester Peter Gustav Strømsøe og hustru Anna Emilie Wold. Søsteren Agathe Wibe er kjent for å ha skrevet bysangen «Levangerkantaten». Reidar Strømsøe giftet seg i 1909 med Ragna Johanne Holthe, datter av buntmaker Johan G. Holthe og søster til smed og ordfører Paul Holthe.[1]
Farsslekten hadde drevet bakeri i Kirkegaten 35 (Strømsøegården) i Levanger siden Reidar Strømsøes oldefar etablerte seg der i 1790-årene. Slekten med dermed regnet som en av byens eldste. Han gikk i lære hos sin far og tok svennebrev i 1905 og håndverkerbrev i 1910. I mellomtiden foretok han også en studiereise til København. Han overtok Strømsøes Bakeri etter sin far i 1910 og utvidet med brødbakeri, konditori og kafé. I 1946 overlot han forretningen til to av sine sønner.[1][2][3][4][5]
Strømsøe var formann i Levanger Håndverkerforening i årene 1908–1925, 1929 og 1938–1945, deretter medlem av representantskapet i Norges Håndverkerforbund 1945–1948.[2] Som formann i håndverkerforeningen under krigen ble han fengslet på Falstad og senere Grini, ettersom foreningen nektet å innrette seg etter okkupasjonsmakten.[6] Han tok initiativ til å etablere Levanger Boligbyggerlag, hvor han var styreformann frem til 1965.[5] Han var styreformann i Levanger og Skogns Sparebank 1956–1958.[7]
Med unntak av én periode var Strømsøe innvalgt i Levanger bystyre for Høyre 1916–1961, og han fungerte som rådmann 1952–1953 og som bykommunens siste ordfører 1956–1961. Som en «sann bypatriot» var Strømsøe svært skeptisk til den nye storkommunen Levangers fremtid, skildrer bibliotekar og lokalhistoriker Sveinung Havik.[5] Strømsøe var Høyres 2. vararepresentant til Stortinget fra kjøpstedene Trondheim og Levanger 1950–1953, og møtte i 5 dager.[8]
Strømsøe skrev flere organisasjons- og lokalhistoriske verk; like før sin død i 1967 utgav han Levanger bys historie.[5] Han døde 80 år gammel, og ble begravet fra Levanger kirke.[9]
