함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, 영어: Brauner space)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 ${\displaystyle X}$이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-국소 볼록 공간 ${\displaystyle X}$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-브라우너 공간이라고 한다.

• ${\displaystyle X}$는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
• 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.
• 반콤팩트 공간이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 ${\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \dotsb \subseteq X}$이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)

  임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq K_{i}}$인 자연수 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$가 존재한다. (즉, ${\displaystyle \min\{i\in \mathbb {N} \colon K\subseteq K_{i}\}<\infty }$이다.)

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle X}$의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle X^{*}}$ 위에, ${\displaystyle X}$의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(영어: stereotype dual space)이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1][2]

• 스테레오 공간 ${\displaystyle X}$이 브라우너 공간이다.
• 스테레오 쌍대 공간 ${\displaystyle X^{*}}$은 프레셰 공간이다.

즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )}$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq M}$에 대하여, 함수열 ${\displaystyle f_{i}\upharpoonright K}$는 ${\displaystyle f\upharpoonright K}$로 균등 수렴한다.

그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간

${\displaystyle X=({\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} ))^{*}}$

은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )}$에 대하여, 범함수열 ${\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}}$는 ${\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}}$로 균등 수렴한다.

그렇다면, ${\displaystyle X}$는 브라우너 공간이다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} )}$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 콤팩트 공간 ${\displaystyle K\subseteq M}$에 대하여, 함수열 ${\displaystyle f_{i}}$의 임의의 차수 도함수 ${\displaystyle \nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f_{i}}$는 ${\displaystyle K}$ 위에서 ${\displaystyle \nabla _{X_{1}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f}$로 균등 수렴한다.

이제, 이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간

${\displaystyle X=({\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} ))^{*}}$

은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 유계 집합 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )}$에 대하여, 범함수열 ${\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}}$는 ${\displaystyle \phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}}$로 균등 수렴한다.

그렇다면, ${\displaystyle X}$는 브라우너 공간이다.

${\displaystyle M}$이 슈타인 다양체(영어: Stein manifold)라고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$을 ${\displaystyle M}$에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 ${\displaystyle M}$에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 ${\displaystyle M}$에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$은 브라우너 공간이다.

또한, ${\displaystyle G}$를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. ${\displaystyle G}$의 지수형 정칙 함수(영어: exponential-type holomorphic function)의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.^[2]

칼만 조지 브라우너 2세(영어: Kalman George Brauner, Jr.)가 이 개념을 최초로 연구하였다.^[3]

• Schaefer, Helmuth H. (1966). 《Topological vector spaces》. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6. 

• Robertson, A.P.; Robertson, W.J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 
• Brauner, K. (1973). “Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem”. 《Duke Math. Jour.》 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7. 
• Akbarov, S.S. (2003). “Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra”. 《Journal of Mathematical Sciences》 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
• Akbarov, S.S. (2009). “Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity”. 《Journal of Mathematical Sciences》 162 (4): 459–586. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. (구독 필요).  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

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