선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다.

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 위의 유계 작용소

${\displaystyle A\colon H\to H}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 ${\displaystyle (U,P)}$이다.

• ${\displaystyle U,P\colon H\to H}$는 유계 작용소이다.
• ${\displaystyle A=U\circ P}$이다.
• ${\displaystyle U\colon H\to H}$의 경우, ${\displaystyle H/\ker U\to H}$는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
• ${\displaystyle P}$는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 ${\displaystyle v\in H}$에 대하여 ${\displaystyle \langle v|H|v\rangle \in [0,\infty )\subseteq \mathbb {C} }$이다.
• ${\displaystyle (\ker U)^{\perp }=\operatorname {cl} (PH)}$이다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} (-)}$은 폐포이다.)

사실, 항상

${\displaystyle P={\sqrt {A^{*}A}}=|A|}$

임을 보일 수 있다.

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 위의 유계 작용소 ${\displaystyle A\colon H\to H}$의 극분해 ${\displaystyle (U,P)}$는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle \{A\}}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다. ${\displaystyle U}$는 ${\displaystyle \{A\}}$로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle \operatorname {B} (H,H)}$의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), ${\displaystyle U}$는 ${\displaystyle \{A\}}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다.

이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

만약 ${\displaystyle H}$가 유한 차원이며 ${\displaystyle A}$가 가역 행렬이라면, ${\displaystyle A}$의 극분해 ${\displaystyle (U,P)}$에서 ${\displaystyle U}$는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 ${\displaystyle H}$가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, ${\displaystyle H}$가 유한 차원일 때,

${\displaystyle \det A=\det U\det P}$

이므로

${\displaystyle \det P=|\det A|\in [0,\infty )}$

${\displaystyle \det U\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$

이다.

임의의 복소수 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$를 유계 작용소 ${\displaystyle z\cdot \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.

${\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} \theta )\cdot r\qquad (r\in [0,\infty ))}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 위의 대각 행렬

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}\qquad \left(\theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} ,\;r_{1},\dotsc ,r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$

의 극분해는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)=\operatorname {diag} \left(\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\operatorname {diag} (r_{1},\dotsc ,r_{n})}$

르베그 공간

${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )}$

을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자

${\displaystyle A\colon (z_{0},z_{1},\dotsc )\mapsto (0,z_{0},z_{1},\dotsc )}$

를 생각하자. 이 경우,

${\displaystyle A^{*}A=1}$

이므로 극분해 ${\displaystyle (P,U)}$는

${\displaystyle P=1}$

${\displaystyle U=A}$

이다. 특히, ${\displaystyle U}$는 유니터리 작용소가 되지 못한다.

• 카르탕 대합
• 행렬 분해

• “Polar decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Moslehian, Mohammad Sal. “Polar decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Polar decomposition”. 《nLab》 (영어).