シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
シュリニヴァーサ・ラマヌジャン （Srinivasa Ramanujan ;[ 1] IPA: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] タミル語 : சீனிவாச இராமானுஜன் [sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən] (音声ファイル ) 、1887年 12月22日 - 1920年 4月26日 ）[ 2] インド の数学者 。純粋数学 の正式な教育をほとんど受けていないが、極めて直感的かつ天才的な閃きにより、数学的解析 、整数論 、無限級数 、連分数 などのほか、当時解決不可能とされていた数学的問題の解決にも貢献し、「インドの魔術師 」の異名を取った[ 3]
クンバコナムのサランガパニー通りにあるラマヌジャンの生家。 1887年 、南インドのタミル・ナードゥ州 タンジャーヴール県 クンバコナム の極貧のバラモン 階級の家庭 に生まれた。幼少の頃より母親 から徹底したヒンドゥー教 の宗教教育 を受ける。高校 では全科目で成績が悪く、高等数学の正式な教育は受けていなかった[ 4] ジョージ・カー という数学教師が著した『純粋数学要覧 』 (Synopsis of Pure Mathematics 数学 に没頭する。
奨学金 を得てマドラス のパッチャイヤッパル大学 に入学したが、数学に没頭するあまり他科目の授業 に出席しなくなり、1906年 12月にFellow of Arts号の学位認定試験に落第し、次の年度にも再び落第したため、奨学金を打ち切られて学位 を得ないまま中途退学 する[ 5] 独学 で数学の研究 を続けていたが、やがて港湾事務所の事務員 の職に就き、そこで上司 の理解もあって、仕事を早めに終えて数学の研究に没頭していた。
ラマヌジャンは当初、孤立して自らの数学的研究を展開していたが、1913年 に周囲の勧めもあって、イギリス のヒル（Micaiah John Muller Hill ）教授、H. F. ベイカー 教授、ホブソン 教授に研究成果を記した手紙 を出すも、全て黙殺される[ 注 1] ケンブリッジ大学 のゴドフリー・ハーディ は、ラマヌジャンの手紙を読み、最初は「狂人のたわごと」程度にしかとらなかったものの、やがてその内容に驚愕するようになる[ 注 2] [ 7] [ 8]
ケンブリッジ大学 トリニティ・カレッジ にて他の科学者と共に撮影。中央がラマヌジャン。ケンブリッジ大学 トリニティ・カレッジ ヒューウェル寮こうしてハーディは、ラマヌジャンの研究が並外れたものであることを認め、彼をケンブリッジ大学に招聘した。ラマヌジャンはE. H. ネヴィル の力を借りて1914年 に渡英する。王立協会フェロー に選出されるが[ 注 3] 病気 を患い[ 注 4] 1919年 にインドへ帰国。1920年 に32歳の若さで病死した。ハーディへ宛てた最後の手紙には、彼がまだ新しい数学的アイデアや定理を生み出し続けていたことを物語っている。
1997年にラマヌジャンの影響を受けた数学のあらゆる分野の研究を掲載するための科学雑誌『ラマヌジャン・ジャーナル』が創刊された[ 11]
2014年 にインドで「ラマヌジャン （英語版 ） 伝記映画 が制作され、2015年 にはイギリスで「奇蹟がくれた数式 」という伝記映画が制作された。
ラマヌジャンはその短い生涯の間に、独自に3,900近くの結果（ほとんどが恒等式 と方程式 ）をまとめあげた[ 12] ラマヌジャン素数 、ラマヌジャンθ関数 、分割式 、模擬θ関数 など、彼の独創的で非常に型破りな結果は、全く新しい分野を開拓し、膨大な量の研究を促すことになった。彼の何千もの結果のうち、1, 2ダース分を除いて、すべてが正しいことが現在証明されている[ 13]
渡英後に発表した40編の論文 の他には、渡英前の数学的発見を記したノート が3冊、帰国後に記された「失われたノートブック」[ 注 5] 大学 で系統的な数学教育 を受けなかったため、彼は「証明 」という概念を持っておらず、得た「定理 」に関して彼なりの理由付けをするに留まっており[ 注 6] ダース もの「定理」を1日かけて証明するという方法をとった[ 注 7] 1997年 であり、「ノートブック」と「失われたノートブック」の全文が出版完了したのは2018年 である。ラマヌジャンの死後1世紀近く経った現在も、彼の著作の中にある「単純な性質」や「類似した結果」というコメント自体が、疑われていなかった深遠かつ微妙な整数論の結果であることが、研究者たちによって発見され続けている[ 15] [ 16]
渡英前のノートに記された公式群は、既に知られていたものも多かったが、連分数 や代数的級数などに関しては新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの保型形式 、それに関連したラマヌジャン予想 は重要な未解決問題 であった[ 注 8] ロジャース・ラマヌジャン恒等式 の再発見や確率論的整数論 を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記された「モックテータ関数 」の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している[ 8]
（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。
また、ハーディは1点から100点までの点数で数学者をランク付けしていた。それによると、ハーディ自身は25点、リトルウッド が30点、ヒルベルト が80点、そしてラマヌジャンが100点だった[ 17] [ 注 9]
彼の解法の発想について「寝ている間にナーマギリ女神が教えてくれた」 と発した言葉は有名である。
τ 関数ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。
Δ Δ -->
=
x
∏ ∏ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
− − -->
x
n
)
24
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
τ τ -->
(
n
)
x
n
{\displaystyle \Delta =x\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}}
彼は x のべきの係数
τ τ -->
(
n
)
{\displaystyle \tau (n)}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
τ τ -->
(
n
)
n
− − -->
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}}
を考えて、そのオイラー積表示
∏ ∏ -->
p
1
1
− − -->
τ τ -->
(
p
)
p
− − -->
s
+
p
11
− − -->
2
s
{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}}}
を与えた[ 注 10] p −2s という p −s の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「2次のゼータ」の発見）。
ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。
1918年 2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。
「乗ってきたタクシーのナンバーは1729 だった。さして特徴のない数字だったよ」 これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。
「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数 の和で表せる最小の数です」 実は、1729は次のように表すことができる。
1729 = 123 + 13 = 103 + 93 すなわち、1729が「A = B 3 + C 3 = D 3 + E 3 」という形で表すことのできる数 A のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。
このようなことから、リトルウッド は「全ての自然数 はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数 やタクシー数 スタートレック やフューチュラマ などのSFや、ハッカー文化 の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。ちなみに1729は、カーマイケル数 でもある。
この逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。
635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594 補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含め、また絶対値が違う組み合わせからなる値は91が最小（絶対値 が最小）である。
91 = 63 + (−5)3 = 43 + 33
ラマヌジャンが1729という数字を何故意識していたのか、没後90年以上よく分っていなかったが、21世紀 に入って理由が判明した。
2013年 、エモリー大学 のケン・オノ はアンドリュー・グランヴィル （英語版 ） ケンブリッジ大学 が所蔵するラマヌジャンの遺稿を調査した際、インド帰国後の1919年に病床で記したノートの中に、1729の計算とそれにまつわる覚書があるのを発見した。オノとグランヴィルが驚いたことに、ラマヌジャンはその中で次数3である場合のフェルマーの最終定理 の「反例に近い値」を無限個生成する式を与えていた[ 18] [ 19] a 3 + b 3 = c 3 + 1 または a 3 + b 3 = c 3 − 1を満たす a , b , c を探すという問題に対する答である。1729は103 + 93 = 123 + 13 としてこの計算の中に現れる。
オノはこの発見を持ち帰り、彼の指導院生であるSarah Trebat-Lederと共に精査した結果、この時ラマヌジャンは答を導出する過程で1729と楕円曲線 から今日で言うK3曲面 を構成していたことを発見した[ 20] [ 21] アンドレ・ヴェイユ によるK3曲面の再発見と命名に30年以上先行する仕事である。更にラマヌジャンのK3曲面はランク≧2の楕円曲線を無限個生成するという特別な性質を持っていた。プリンストン大学 のマンジュル・バルガヴァ はこれを「これまで未知だった性質を示す素晴らしい例」であり、数学にまた新たな発展をもたらすだろうと述べた[ 18]
具体的には、ラマヌジャンは一般に
X
3
+
Y
3
=
Z
3
+
W
3
{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}}
を考察し[ 注 11]
(
6
A
2
− − -->
4
A
B
+
4
B
2
)
3
+
(
− − -->
3
A
2
− − -->
5
A
B
+
5
B
2
)
3
=
(
4
A
2
− − -->
4
A
B
+
6
B
2
)
3
+
(
5
A
2
− − -->
5
A
B
− − -->
3
B
2
)
3
{\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。
オノらは、上記の整数解で t = A /B としたもの
(
6
t
2
− − -->
4
t
+
4
)
3
+
(
− − -->
3
t
2
− − -->
5
t
+
5
)
3
=
(
4
t
2
− − -->
4
t
+
6
)
3
+
(
5
t
2
− − -->
5
t
− − -->
3
)
3
{\displaystyle (6t^{2}-4t+4)^{3}+(-3t^{2}-5t+5)^{3}=(4t^{2}-4t+6)^{3}+(5t^{2}-5t-3)^{3}}
は楕円曲線
X
3
+
Y
3
=
k
(
t
)
,
k
(
t
)
=
63
(
3
t
2
− − -->
3
t
+
1
)
(
t
2
+
t
+
1
)
(
t
2
− − -->
3
t
+
3
)
{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=k(t),k(t)=63(3t^{2}-3t+1)(t^{2}+t+1)(t^{2}-3t+3)}
の2つの有理点を与え、さらにこの楕円曲線は関数体
Q
(
t
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (t)}
(
6
t
2
− − -->
4
t
+
4
,
− − -->
3
t
2
− − -->
5
t
+
5
)
,
(
4
t
2
− − -->
4
t
+
6
,
5
t
2
− − -->
5
t
− − -->
3
)
{\displaystyle (6t^{2}-4t+4,-3t^{2}-5t+5),(4t^{2}-4t+6,5t^{2}-5t-3)}
t に対して（有限個の例外を除き）この楕円曲線は有理数上2以上の階数をもつ。また曲面
X
3
+
Y
3
=
k
(
Z
)
{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=k(Z)}
は楕円K3曲面であることを示したのである[ 22]
ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数 と呼ばれる考えを元に、次の円周率 の公式を発見した。
1
π π -->
=
2
2
99
2
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
4
n
)
!
(
1103
+
26390
n
)
(
4
n
99
n
n
!
)
4
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(4^{n}99^{n}n!)^{4}}}}
4
π π -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
4
n
)
!
(
1123
+
21460
n
)
882
2
n
+
1
(
4
n
n
!
)
4
{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}}
これらの公式は、収束 が非常に早いものとして知られている。1985年 に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただしラマヌジャンは証明を書き残していなかったので、ゴスパーの計算が正しく円周率を与えるかは保証されなかったが、得られた結果はそれまでに計算されていた円周率の値と整合したので、式の正しさのある意味で実験的な「証明」を与えたことになる。これらの式はその後に数学的に正当な方法で証明された。
また、次のような円周率に関する近似 式も発見している。
π π -->
≈ ≈ -->
2143
22
4
=
3.1415926525
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\cdots }
π π -->
≈ ≈ -->
63
(
17
+
15
5
)
25
(
7
+
15
5
)
=
3.1415926538
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle \pi \approx {\frac {63\left(17+15{\sqrt {5}}\right)}{25\left(7+15{\sqrt {5}}\right)}}=3.1415926538\cdots }
1
2
π π -->
2
≈ ≈ -->
1103
99
2
⟺ ⟺ -->
π π -->
≈ ≈ -->
3.1415927
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\approx {\frac {1103}{99^{2}}}\iff \pi \approx 3.1415927\cdots }
原書は1927年にラマヌジャンの死後に出版された。数学の専門誌に掲載されたラマヌジャンの論文37編を収録。第3版にはブルース・バーントの注釈が追加されている。 S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 Volumes) . Bombay, India: Tata Institute of Fundamental Research ラマヌジャンによって記されたノートブックの影印を収録。 S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers . New Delhi, India: Narosa. ISBN 3-540-18726-X ラマヌジャンの“失われたノートブック”の影印を収録。 K. Srinivasa Rao. “Questions by Srinivasa Ramanujan ”. Journal of the Indian Mathematical Socity. 2012年12月22日 閲覧。 S. Ramanujan (2012). Notebooks (2 Volumes) . Bombay, India: Tata Institute of Fundamental Research チェンナイ のRoja Muthiah Research Libraryにより直筆草稿よりスキャンされたマイクロフィルムから作成。
^ ハンス・アイゼンク は「彼は、第一線のプロの数学者たちに自分の研究に興味を持ってもらおうとしたが、そのほとんどは失敗に終わった。彼が見せなければならないものは、あまりに目新しく、あまりに見慣れないもので、しかも変わった方法で提示されるため、彼らは気にかけることができなかったのだ。」[ 6] ^ ハーディは彼の手紙について、「一目見ただけで最高の数学者によって書かれたことがわかる」と述べ、ラマヌジャンをオイラー やヤコビ といった天才的数学者と比較している。
^ ラマヌジャンはトリニティ・カレッジ のフェローに選ばれた最初のインド人となった。
^ ラマヌジャンは敬虔なヒンドゥー教 徒であり、厳格な菜食主義 者だったうえ、「バラモン以外のものが料理したものは不浄」として口にせず、あまつさえハーディとの共同研究に没頭するあまり、「30時間休まずに研究して20時間眠り続ける」というような不規則な生活を続けていた[ 9] 第一次世界大戦 下のイギリスはドイツ による通商破壊 もあり、栄養の確保が困難だったことも拍車をかけたとされる。なお、ラマヌジャンの病気については、結核 か重度のビタミン欠乏症 と言われていたが、近年の研究では赤痢 を併発していたことからアメーバ 性肝炎 とされている[ 10]
^ 1976年に発見された。
^ 例えば「寝ている間にナーマギリ女神 が教えてくれた」など。
^ ハーディのノートには、ラマヌジャンが画期的な新定理 を発表したことが記されており、その中には「私を完全に打ち負かしたもの、今まで全く見たことのないもの」[ 14] 最近証明されたが非常に高度な結果もあった [要出典 。
^ 1974年 にドリーニュ が解決している。^ ハーディの採点基準では採点外のその他大勢が存在するため、25点や100点というのは「点数を付けるに値する」対象内での評価点となる。ハーディ自身己の業績にかなりの自負を持っているが、それでも25点程度だろうとした上でラマヌジャンを100点と評価している。
^ 正確には「証明」していない。
^ 有理数解を与える一般的な公式は既にレオンハルト・オイラー によって発見されており、そこから無限個の整数解が得られるが、すべての整数解を与える一般的な公式は知られていない。なお、アドルフ・フルヴィッツ によって単純化された公式がHardy & Wright (2008 , Theorem 235)に掲載されている。
^ Olausson, Lena; Sangster, Catherine (2006). Oxford BBC Guide to Pronunciation . Oxford University Press. p. 322. ISBN 978-0-19-280710-6 ^ Oxford Dictionary of National Biography (要購読、またはイギリス公立図書館への会員加入 。) ^ 『別冊ニュートン 数学の世界[増補第3版]楽しみながら科学と数学に強くなろう』ニュートンプレス、2019年11月5日、102頁。 ^ 「脳のなかの幽霊」V・S・ラマチャンドラン ，1999
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Ramanujan's papers and notebooks O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , “Srinivasa Aiyangar Ramanujan” , MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews , https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ramanujan/ Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/π: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587. Jesús Guillera はRamanujan型の円周率を与える級数を多数与えている
![{\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6043506baae34218ff5113baa7ba293d885c051)
