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ゲージ理論 （ゲージりろん、英語 : gauge theory ）は、場の理論 の分類である。局所変換の際にラグランジアン が不変となる系を扱う。
ゲージ （ものさし、尺度）という用語は、ラグランジアンの冗長な自由度を表している。可能なゲージを変換することをゲージ変換 と呼ぶ。ゲージ変換は、リー群 を形成し、理論の対称群 あるいはゲージ群 と呼ばれる。リー群には生成子 のリー代数 が付随する。それぞれの生成子に対応してゲージ場 と呼ばれるベクトル場 が導入され、これにより局所変換の下でのラグランジアンの不変性（ゲージ不変性 ）が保証される。ゲージ場を量子化 して得られる粒子はゲージボゾン 非可換 なゲージ群の下でのゲージ理論は、非可換ゲージ理論 と呼ばれ、ヤン＝ミルズ理論 が代表的である。
物理学における有用な理論の多くは、ある対称性変換群の下で不変なラグランジアンによって記述される。物理的な過程が発生する時空の全ての 点において一斉に同一な変換の下で不変であるとき、理論は大域対称性 を持つと言う。局所対称性 を要求すると、系により強い制約を課すこととなり、この点がゲージ理論の重要な点である。実際、大域対称性は、まさに時空内で固定された対称群のパラメータをもつ局所対称性である。
ゲージ理論は、素粒子 を記述する場の理論として成功している。量子電磁気学 はU(1) 対称性に基づく可換 ゲージ理論であり、ゲージボゾンを光子 として持つ電磁ポテンシャル がゲージ場である。標準模型 は U(1) × SU(2) × SU(3) 対称性に基づく非可換ゲージ理論であり、1つの光子 、3つのウィークボソン 、および 8つのグルーオン の合計 12 のゲージボゾンを持つ。
ゲージ理論は重力 を記述する一般相対論 においても重要な役割を持つ。一般相対論の場合は、ゲージ場がテンソル 場である。量子重力理論 において、このゲージ場を量子化した重力子 が存在すると考えられている。
ゲージ対称性は、一般相対論の一般共変性 (principle of general covariance)の類似と見なすことができ、そこでの座標系は任意の時空の微分同相 の下に自由に選択することができる。ゲージ対称性も微分同相対称性も両方とも、系の自由度の冗長性を反映している。
歴史的には、これらの概念は、初めは古典電磁気学 で、そして後に一般相対性理論 において考えられていた。しかしながら、以下に詳しく述べるように、ゲージ対称性の現代的な重要性は電子 の相対論的量子力学 である量子電磁気学 において最初に現れた。今日、ゲージ理論は凝縮系物性論 、原子核物理学 、あるいは高エネルギー物理学 の分野で非常に有用である。
ゲージ変換の自由度を持った最初の理論は電磁気学 における、1864年のマクスウェル (James Clerk Maxwell)による電磁場の公式 であるが、この概念の重要性は永く気付かれないままであった。この定式化の持つ対称性の重要さは、早期の段階では注目されることがないままであった。ヒルベルト (David Hilbert)も注目することなく、一般座標変換の下の作用 の不変性を詳しく調べ、アインシュタイン方程式 を導出した。後日、ワイル (Hermann Weyl)が、一般相対論 と電磁気学 を統一しようと、スケール 変換（もしくは、ゲージ変換）の下の不変性が、一般相対論の局所対称性であろうと予想した。量子力学 の発展したのち、ワイル、フォック (Vladimir Fock)、ロンドン (Fritz London)が、スカラー要素を複素数 値に置き換え、スケール変換を U(1) ゲージ対称性である相 (phase)の変更に置き換えることにより、スケール（ゲージ）を変形した。このことが、電荷 を帯びた量子力学的な粒子 の波動函数 として電磁場 を説明した。これがヴォルフガング・パウリ (Wolfgang Pauli)により1940年代に広められ、ゲージ理論として広く認識された最初であった。[ 1]
1954年に楊振寧 とミルズ は核子 の強い相互作用 を説明するモデルを提唱した[ 2] 電磁相互作用 のU(1)対称性の理論を一般化して、陽子 と中性子 のアイソスピン SU(2)対称性に基づいた理論を構築した。このモデル自体は実験と整合しなかったが非可換対称性に基づくヤン＝ミルズ理論
このアイデアは後に、弱い相互作用 と電磁相互作用 を統一する電弱相互作用 への応用が見いだされた。さらに、非可換ゲージ理論は漸近的自由性 と呼ばれる特徴を再現できることが判明したことで、ゲージ理論はより魅力的なものとなった。漸近的自由性は強い相互作用の重要な特徴であると見なされていた。これにより、強い相互作用のゲージ理論を探求しようという動機が生まれた。この理論は量子色力学 と呼ばれ、クォーク のカラー SU(3)対称性に基づくゲージ理論である。ゲージ理論は、量子電磁力学 (QED) 、量子色力学 (QCD) およびワインバーグ＝サラム理論 の基礎をなしている。さらに、電磁相互作用、弱い相互作用および強い相互作用を統一する標準模型 はゲージ理論の言葉で記述されている。
1970年代になって、マイケル・アティヤ は古典的ヤン＝ミルズ方程式 の数学的解決法の研究を始めた。1983年、アティヤの学生サイモン・ドナルドソン は滑らかな 4次元微分可能多様体 の分類では、位相同型 の違いを除いた 分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。マイケル・フリードマン は、ドナルドソンの研究成果を用いて、エキゾチック R 4 の存在、すなわち、4次元ユークリッド空間 とは異なるエキゾチックな微分構造 （英語版 ） エドワード・ウィッテン およびネーサン・サイバーグ は、超対称性 に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。ここでの方法はあるトポロジー 的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。
ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと [ 3]
任意の物理的状況の数学的記述は、通常、過度の自由度 を持っている。同一の物理状況は、多くの同値な数学的な構成によりうまく記述される。例えば、ニュートン力学 では、2つの構成が互いにガリレイ変換 （座標系の慣性 変換）により、同一の物理的状況を表している。これらの変換は理論の対称性 の群 を形成し、物理的状況は個別の数学的構成に対応しているのではなく、この対称群により互いに関連付けられた構成のクラスに対応する。
この考え方を大域的な対称性と同様に局所対称性へ一般化することができる。このことは、全物理系をカバーする「慣性」座標系を選ぶことのないような状況でのより抽象的な「座標変換」であることと似ている。ゲージ理論はこの種類の対称性を持つ数学的モデルであり、モデルの対称性と整合性を持つ物理的な予言をなすことを可能とする一連のテクニックを伴っている。
ゲージ理論は、ファイバーバンドル で記述することができる。[ 注 1]
さらに複雑な理論の中で物理的状況を充分に記述するため、時空の中で点にラベル付けを与える座標との単純な関係を持たない対象に対して、「座標基底」を導入する必要がある。（数学用語では、点での対象の値を記述するときに使う座標基底からなるベース空間と、その各々の点でファイバーを考えたファイバーバンドルを意味する。）数学的な構成とするためには、各々の点で（ファイバーバンドルの局所切断 に限った座標基底を選択し、理論の対象の値を座標を使い表現せねばならない（通常は、物理的意味では場の理論 ）。ファイバーバンドルと場の理論という 2つの構成は、それらの座標変換（局所切断の変換、ゲージ変換 ）によって関係し合うとき、等価である（同じ物理状態を記述する）と言う。
大半のゲージ理論では、時空の点の抽象的ゲージ基底の可能な変換は、有限次元のリー群 である。最も単純なそのような群は、U(1) であり、現代の定式化では、複素数 を使った量子電磁力学 (QED) である。QED は一般に、最初の最も単純な物理的ゲージ理論と考えられている。ゲージ理論が与えられたとき、全体の構成の中で取りうるゲージ変換の集合は、ゲージ群 を形成する。ゲージ群の元は時空の点から（有限次元の）リー群への滑らかな函数によりパラメトライズされ、各々の点での函数とその微分の値は、各々の点上のファイバーでのゲージ変換の作用を表す。
時空の各点で定数であるゲージ変換は、幾何学的な座標系のリジッドな回転に似ている。この定数ゲージ変換は、ゲージ表現の大域対称性 を表す。リジッドな回転の場合のように、このゲージ変換は、真に局所的な量を表現する方法と同じ方法で、ゲージ独立な量を経路に沿って変更する比率を表現することへ影響する。パラメータが定数函数でないゲージ変換は、局所対称性 と呼ばれる。微分 を意味する効果と、しない効果とは量的な差異がある。（このことは、コリオリの力 として表すことのできる、座標の非惰性的な変換の類似物である。
ゲージ理論の「ゲージ共変」バージョンは、ゲージ場を導入すること（数学のことばでは、エーレスマン接続 ）と、この接続の観点から共変微分 の項で全ての変換の度合いを定式化することにより、この効果を考慮している。ゲージ場は、数学的構成の記述の本質的な部分となっている。ゲージ変換によりゲージ場を除去可能な構成は、場の強さ （英語版 ） 曲率 ）がどこでも 0 となる性質を持っている。ゲージ場はこれらの構成に限られているわけではない 。言い換えると、ゲージ理論の際立った特性は、ゲージ場が単に単純な座標系の選択を償っているだけではないという特性であり、一般にはゲージ場を 0 とするようなゲージ変換は存在しない。
ゲージ理論の力学 の解析のとき、物理的状況の記述での他の対象と同様に、ゲージ場は力学変数として扱わねばならない。共変微分を通して他の対象との基本相互作用 に加えて、典型的にゲージ場は「自己エネルギー」項の形でエネルギーへ寄与する。ゲージ理論の方程式は次のようにして得ることができる。
ゲージ場がないというナイーブな仮設 (ansatz より出発する（そこでは、微分が「裸の形」で現れる）。
連続パラメータにより特徴付けられる理論の大域対称性をリストアップする（一般には、回転角と同値である）。
場所により変換することができる対称性パラメータから来る結果の補正項を計算する。
これらの補正項をひとつあるいはそれ以上のゲージ場の結合と解釈し、これらの場の適切な自己エネルギー項と力学的な振る舞いを与える。 このことは、ゲージ理論が大域的対称性を局所対称性へと「拡張」することを意味し、一般相対論 として知られている重力のゲージ理論の歴史的な発展と密接に関連する。
ゲージ理論は、本質的には次のようにして、物理実験の結果をモデル化することに使われる。
自然界の可能な構成を、実験で設定する情報と整合性を持つ構成へ制限する。
実験で設計された可能な出力の確率分布を計算することは、測ることを設計することである。 「設定情報」と「確率測度の出力」とを数学的に記述すること（大まかには、実験の「境界条件」）は、一般には、ゲージの選択を意味する特殊な座標系を使うことなしに表すことはできない（そうでなければ、ゲージ独立な状態を意味する「外側」の影響から充分に孤立した実験を前提とする）。境界条件でゲージ独立性を誤ると、ゲージ理論の計算でアノマリ がしばしば発生するので、ゲージ理論はアノマリを回避するアプローチにより広く分類することができる。[要説明
上記の 2つの理論（連続電磁気学と一般相対論）は、連続体の理論の例である。連続体の理論 の計算テクニックを暗に前提としている。
完全にゲージの選択を固定すると、個別の構成の境界条件は、原理的には完全に記述することが可能である。
完全にゲージを固定し一連の境界条件が与えられると、最小作用の原理 は、これらの境界と整合性を持つ一意な数学的構成（従って一意な物理的状況）を決定する。
測定結果の可能性は次のように決定することができる。
全ての物理的状況の確率分布の確立は、設定情報と整合性を持つ境界条件により決定される。
可能な物理状況の各々の出力測定の確率分布の確立。
設定情報と整合性を持つ出力確率の分布を得るためのこれら 2つの確率分布の畳み込み。
ゲージ固定すると、境界条件の部分的情報の記述のゲージ依存性か、もしくは、理論の不完全性のどちらかのためのアノマリを計算から排除することができる。 これらの前提は充分に閉じられた形を持っているので、エネルギースケールや実験条件の広い範囲を渡って有効であり、光や熱、電気から日食、宇宙旅行と言ったことまでの日常生活の中で出くわす現象の大半について、理論は正確に予言することが可能である。数学的テクニック自体が破れるときである（理論自身の中の省略により）最も小さいスケールと最も大きなスケールのときのみ、理論がうまくいかない（最も有名な場合は、乱流 とほかのカオス 的な現象）。
これらの「古典的」連続体理論以外に、もっとも広く知られている理論が、量子電磁気学 や素粒子物理学の標準模型 を含む場の量子論 である。場の量子論の出発点は、連続に類似する議論に非常に良く似ている。ゲージ共変な作用積分 は、最小作用の原理 に従い「可能な」物理的状況を特徴付ける。しかし、連続体の理論と場の量子論は、ゲージ変換により表される大きすぎる自由度をどのように扱うかということにおいて、重要な違いがある。 連続体の理論と教育的に扱われた最も単純な場の量子論は、ゲージ固定 （英語版 ）
より複雑な場の量子論は、特に非アーベル的なゲージ群を持つ場合は、摂動論 の枠内で、場（ファデエフ・ポポフゴースト場 と、BRST量子化 （英語版 ） アノマリキャンセル （英語版 ） [要出典 。ゲージ理論を扱い易くするために開発された数学的テクニックは、固体物理学 や結晶学 から低次元トポロジー まで、多くの応用を持っている。
歴史的には、最初に発見されたゲージ対称性は、古典電磁気学 である。静電気学 では、電気的な場 E 、もしくは対応する電位 V のどちらもを議論することが可能である。一方が分かれば、定数だけ異なるポテンシャル
V
→ → -->
V
+
C
{\displaystyle V\rightarrow V+C}
C はポテンシャルの変化を見つけるために引くとキャンセルされるからである。ベクトル解析 のことばでは、電場はポテンシャルの勾配
E
=
− − -->
∇ ∇ -->
V
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}
ベクトルポテンシャル （英語版 ） A を得て、次の式を満たす。
E
=
− − -->
∇ ∇ -->
V
− − -->
∂ ∂ -->
A
∂ ∂ -->
t
,
B
=
∇ ∇ -->
× × -->
A
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \ .\end{aligned}}}
さて、一般ゲージ変換は
V
→ → -->
V
+
C
{\displaystyle V\rightarrow V+C}
A
→ → -->
A
+
∇ ∇ -->
f
V
→ → -->
V
− − -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\\V&\rightarrow V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}
となる。ここに f は位置と時間に依存する任意の関数である。場はゲージ変換しても変わらないままであり、従って、マックスウェルの方程式 はそのまま成立する。すなわち、マックスウェルの方程式はゲージ対称性を持っている。
n ) ゲージ理論このセクションの残りは、古典理論や量子場理論 とラグランジアン を使うことに慣れている必要がある。 このセクションで定義するものは、ゲージ群、ゲージ場、相互作用ラグランジアン 、ゲージボゾン である。 次の説明は、局所ゲージ不変性が大域対称性の性質から始め、どのようにして発見的に動機付けられることが可能かか、また、どのようにして元は相互作用のないの間に相互作用を導くかを説明する。
質量 m をもつ相互作用を持たない n 個の実数のスカラー場 の集まりを考える。この系は、各々のスカラー場
φ φ -->
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
作用 により記述される。
S
=
∫ ∫ -->
d
4
x
∑ ∑ -->
i
=
1
n
[
1
2
∂ ∂ -->
μ μ -->
φ φ -->
i
∂ ∂ -->
μ μ -->
φ φ -->
i
− − -->
1
2
m
2
φ φ -->
i
2
]
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]\ .}
ラグランジアン密度は、場のベクトル
Φ Φ -->
=
(
φ φ -->
1
,
φ φ -->
2
,
… … -->
,
φ φ -->
n
)
T
{\displaystyle \ \Phi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})^{T}}
を導入することにより、
L
=
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
)
T
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
− − -->
1
2
m
2
Φ Φ -->
T
Φ Φ -->
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi }
とコンパクトに書くことができる。
項
∂ ∂ -->
μ μ -->
{\displaystyle \partial _{\mu }}
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
偏微分 についてのアインシュタインの縮約記法 を使っている。すると、G が n 次直交群 O(n) に属する定数 行列 であるときにはいつでも、変換
Φ Φ -->
↦ ↦ -->
Φ Φ -->
′
=
G
Φ Φ -->
{\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }
の下にラグランジアンが不変であることが明らかとなる。
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
)
↦ ↦ -->
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
)
′
=
G
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
{\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }
この式は、特別なラグランジアンの大域対称性 を特徴付け、対称群はゲージ群 と呼ばれる。数学用語では、構造群 G-構造 （英語版 ） ネーターの定理 は、この変換群の不変性がカレント
J
μ μ -->
a
=
i
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
T
T
a
Φ Φ -->
{\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{T}T^{a}\Phi }
の保存を導くことを意味する。ここに行列 Ta は群 SO(n) の生成元 である。全ての生成元がカレントを保存する。
さて、このラグランジアンが局所的に O(n)-不変であることを要求することは、行列 G が（最初は、定数であった）、時空 の座標 x の函数となるべきと言うことである。
不幸にも、行列 G は G = G(x) （G は x の函数とすると）のとき、微分を「通過」しない（行列と偏微分とが非可換となる）。
∂ ∂ -->
μ μ -->
(
G
Φ Φ -->
)
≠ ≠ -->
G
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
)
.
{\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )\ .}
G と微分が可換でないことは、（積の法則を保つために）追加項を導入することになり、ラグランジアンの不変性を壊す。これを修正するために、新しい微分作用素を
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
(
D
μ μ -->
Φ Φ -->
)
′
=
G
D
μ μ -->
Φ Φ -->
{\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }
として定義する。
この新しい「微分」をゲージ共変 （英語版 ）
D
μ μ -->
=
∂ ∂ -->
μ μ -->
+
i
g
A
μ μ -->
{\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }}
と言う形を取る。
ここに g は相互作用の強さを定義する量であり、結合定数と呼ぶ。簡単な計算の後、ゲージ場 A(x) が次のように変換せねばならないことが分かる。
A
μ μ -->
′
=
G
A
μ μ -->
G
− − -->
1
+
i
g
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
G
)
G
− − -->
1
.
{\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}+{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}\ .}
ゲージ場はリー代数 の元であり、
A
μ μ -->
=
∑ ∑ -->
a
A
μ μ -->
a
T
a
{\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}
と拡張できる。
従って、リー代数の生成元と同じゲージ場がある。
結局、今では、局所ゲージ不変 (locally gauge invariant)ラグランジアン
L
l
o
c
=
1
2
(
D
μ μ -->
Φ Φ -->
)
T
D
μ μ -->
Φ Φ -->
− − -->
1
2
m
2
Φ Φ -->
T
Φ Φ -->
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{T}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi }
が得られている。
パウリ(Pauli)は、
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
第一種のゲージ変換 と呼び、一方、
A
{\displaystyle A}
第二種のゲージ変換 と呼んだ。
ゲージボゾンを通して相互作用するスカラーボゾンのファインマン・ダイアグラム このラグランジアンと元々の大域ゲージ不変 (globally gauge-invariant)なラグランジアンとの差異は、相互作用ラグランジアン (interaction Lagrangian)
L
i
n
t
=
i
g
2
Φ Φ -->
T
A
μ μ -->
T
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
+
i
g
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
Φ Φ -->
)
T
A
μ μ -->
Φ Φ -->
− − -->
g
2
2
(
A
μ μ -->
Φ Φ -->
)
T
A
μ μ -->
Φ Φ -->
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{T}A_{\mu }^{T}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{T}A^{\mu }\Phi }
である。
この項は、局所ゲージ不変性の要求の結果として n 個のスカラー場の間の相互作用 を導入することになる。しかしながら、この相互作用を物理的とし完全には任意としないするためには、媒体 A(x) は空間を伝搬する必要がある。次のセクションでは、もうひとつの別な項
L
g
f
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}
古典場理論 を得るような量子化 のバージョンでは、ゲージ場 A(x) の量子 は、ゲージボゾン と呼ばれる。量子場理論の相互作用多グランジアンの解釈は、これらのゲージボゾンの交換によって相互作用するスカラー ボゾン である。
前のセクションでの古典ゲージ理論の描像は、ほぼ完全ではあるが、共変微分 D の定義するために、全ての時空の点でゲージ場
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
L
g
f
=
− − -->
1
2
Tr
-->
(
F
μ μ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
)
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}
として表すことができる。ここでは、
F
μ μ -->
ν ν -->
=
1
i
g
[
D
μ μ -->
,
D
ν ν -->
]
{\displaystyle \ F_{\mu \nu }={\frac {1}{ig}}[D_{\mu },D_{\nu }]}
であり、トレース は場のベクトル空間 上にとることとする。これをヤン・ミルズ作用 (Yang–Mills action)と呼ぶ。他にもゲージ不変な作用は存在している（例えば、非線型電磁気学 、ボルン・インフェルト作用 （英語版 ） チャーン・サイモンズモデル 、テータ項 (theta term)など）。
このラグランジアンの項の中には、
A
{\displaystyle A}
前提的に 古典（幾何学的）対称性です。この対称性は量子化を遂行するために制限される必要があり、この過程はゲージ固定 （英語版 ） [ 4]
そこで、ゲージ理論の完全なラグランジアンは
L
=
L
l
o
c
+
L
g
f
=
L
g
l
o
b
a
l
+
L
i
n
t
+
L
g
f
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {global} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}
となる。
前のセクションで示した定式化の単純な応用として、電子 の場だけがある電磁気学 の場合を考える。裸の骨だけの（最も中心となる）電子の場であるディラック方程式 を生成する作用は、
S
=
∫ ∫ -->
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
ℏ ℏ -->
c
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
− − -->
m
c
2
)
ψ ψ -->
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2})\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}
である。
この系の大域対称性は、
ψ ψ -->
↦ ↦ -->
e
i
θ θ -->
ψ ψ -->
{\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }
である。
このゲージ群は U(1) であり、まさに定数 θ を持つ場の相（絶対値 1 の複素数値を角度で表したフェーズ）である。
この対称性を「局所化」することは、θ を θ(x) で置き換えることを意味する。適切な共変微分は、
D
μ μ -->
=
∂ ∂ -->
μ μ -->
− − -->
i
e
ℏ ℏ -->
A
μ μ -->
{\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}
となる。
「電荷」 e を普通の電荷 (electric charge)（ゲージ理論の用語の使い方の原型）を同一視し、ゲージ場 A(x) を電磁場 の 4元ベクトルポテンシャル と同一視すると、相互作用ラグランジアンは、
L
i
n
t
=
e
ℏ ℏ -->
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
x
)
γ γ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
(
x
)
A
μ μ -->
(
x
)
=
J
μ μ -->
(
x
)
A
μ μ -->
(
x
)
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}
となる。ここに
J
μ μ -->
(
x
)
{\displaystyle J^{\mu }(x)}
4元ベクトル の電気的カレンド密度である。従って、ゲージ原理は、電子の場へ電磁場のいわゆる最小結合 （英語版 ） 場の強さのテンソル へゲージ場
A
μ μ -->
(
x
)
{\displaystyle A_{\mu }(x)}
量子電磁気学 の出発点として使われるラグランジアン
L
Q
E
D
=
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
ℏ ℏ -->
c
γ γ -->
μ μ -->
D
μ μ -->
− − -->
m
c
2
)
ψ ψ -->
− − -->
1
4
μ μ -->
0
F
μ μ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
を得る。ディラック方程式 、マックスウェルの方程式 、量子電磁気学 も参照。
ゲージ理論は、普通、微分幾何学 の言葉で議論される。数学的には、ゲージ は主バンドル の（局所）切断 を選ぶことである。ゲージ変換 とは、まさにそのような 2つの切断の間の変換のことである。
ゲージ理論は（第一に高エネルギー物理学者 たちにより主要に研究された）接続 の研究により支配されるにもかかわらず、接続のアイデアは一般にはゲージ理論の中心ではない。実際、一般的なゲージ理論は、ゲージ変換のアフィン表現 （英語版 ） 加群 が、ある性質を満たすジェットバンドル （英語版 ） 接続形式 としての変換と BF理論 の B場のようなより一般的な表現である。さらに一般的な非線型表現 （英語版 ） 非線型シグマモデル は非線型に変換するので、これへの応用がある。
主バンドル P のファイバーバンドル の構造群 がリー群 であれば、P の切断はゲージ変換群の主等質空間 （英語版 ）
接続 （ゲージ接続）は、主バンドルを定義するので、各々の随伴ベクトルバンドル （英語版 ） 共変微分 ∇ が存在する。局所座標（切断の局所基底）を選択すると、この共変微分は物理学ではゲージポテンシャル と呼ばれるリー代数 に値を持つ 1-形式 である接続形式 A により表現される。これは確かに本質的でないが座標に依存した量である。曲率形式 F はリー代数 に値を持つ 2-形式 である曲率形式から構成される本質的な量で、
F
=
d
A
+
A
∧ ∧ -->
A
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }
である。ここに d は外微分 であり、
∧ ∧ -->
{\displaystyle \wedge }
ウェッジ積 である。（
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
T
a
{\displaystyle T^{a}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
∧ ∧ -->
A
{\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }
無限小ゲージ変換はリー代数 を形成し、スカラー ε に値を持つ滑らかなリー代数により特徴付けられる。そのような無限小 ゲージ変換の下に、
δ δ -->
ε ε -->
A
=
[
ε ε -->
,
A
]
− − -->
d
ε ε -->
{\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }
となる。ここに
[
⋅ ⋅ -->
,
⋅ ⋅ -->
]
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}
リーブラケット である。
素晴らしいことがあり、
δ δ -->
ε ε -->
X
=
ε ε -->
X
{\displaystyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X}
δ δ -->
ε ε -->
D
X
=
ε ε -->
D
X
{\displaystyle \delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX}
D
X
=
d
e
f
d
X
+
A
X
{\displaystyle DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X}
である。
また、
δ δ -->
ε ε -->
F
=
ε ε -->
F
{\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =\varepsilon \mathbf {F} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
全てではないが、一般に、ゲージ変換は無限小 ゲージ変換により生成される。例として、底空間 が多様体からリー群への写像が非自明である写像のホモトピー 類が非自明であるようなコンパクト 多様体である。例えば、インスタントン （英語版 ）
ここで、ヤン・ミルズ作用 (Yang–Mills action)は
1
4
g
2
∫ ∫ -->
Tr
-->
[
∗ ∗ -->
F
∧ ∧ -->
F
]
{\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}
により与えられる。ここに * はホッジ双対 を表し、積分は微分形式 を使い微分幾何学 的に定義される。
ゲージ不変量 （すなわち、ゲージ変換の下に不変 である量）は、次の式のように、任意の閉じた経路 γ で定義されるウィルソンループ である。
χ χ -->
(
ρ ρ -->
)
(
P
{
e
∫ ∫ -->
γ γ -->
A
}
)
{\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)}
ここに χ は複素表現 ρ の指標 であり、
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
ゲージ理論は、場の量子論 に適用される方法の特別化により量子化することが可能である。しかし、ゲージ固定(gauge constraint)による微妙な点があるので（上の数学的定式化のパラグラフを参照）、他の場の理論では発生し得ない問題の解決に多くの技術的な問題がある。と同時に、ゲージ理論の豊富な構造により、簡単に計算することができる量になることもあり、例えば、ウォード・高橋の恒等式 は、もうひとつ別な繰り込み 定数の定義に結び付いている。
最初に量子化されたゲージ理論は量子電磁力学 (QED)であった。最初の方法は、ゲージ固定し、それから正準量子化 へ適用するという方法であった。グプタ・ブロイラー （英語版 ） 量子化 の記事で記述されている。
量子化の主要な点は、理論で記述されている様々な過程の確率振幅 (probability amplitude)を計算することを可能とすることである。テクニカルには、確率振幅は真空期待値 のある相関函数 の計算である。このことは理論の繰り込み を含んでいる。
理論の結合定数 が充分に小さいとき、求めるべき量の全ては摂動論 により計算することができる。量子化のスキームはそのような計算（正準量子化 ）の単純化を意図していて、摂動量子化スキーム と言われることもある。現在は、これらの方法のからゲージ理論の詳細な実験検証の大半が導かれる。
しかしながら、ほとんどのゲージ理論では、多くの興味のある量は非摂動的である。この問題に適合する（格子ゲージ理論 のような）量子化スキームは、非摂動的量子化スキーム と呼ばれる。このスキームの詳細な計算は、スーパーコンピュータ を必要とし、他のスキームよりもうまく開発されているとは言えない。
古典理論の対称性のうちのいくつかは、量子理論では保たれないことが分かる。この現象をアノマリ
物理学で、大域対称性 (global symmetry)とは、点から点への移動により変換する局所対称性 とは対照的に、時空 の全ての点で保たれる対称性 である。
大域対称性は、力 ではなく、保存則 を要求する 。
大域対称性の例としては、(
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
L
D
=
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
− − -->
m
)
ψ ψ -->
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi }
への群
U
(
1
)
=
e
i
q
θ θ -->
{\displaystyle U(1)=e^{iq\theta }}
この変換の下では波動函数は、
ψ ψ -->
→ → -->
e
i
q
θ θ -->
ψ ψ -->
{\displaystyle \psi \rightarrow e^{iq\theta }\psi }
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
→ → -->
e
− − -->
i
q
θ θ -->
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {\psi }}\rightarrow e^{-iq\theta }{\bar {\psi }}}
L
→ → -->
L
¯ ¯ -->
=
e
− − -->
i
q
θ θ -->
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
− − -->
m
)
e
i
q
θ θ -->
ψ ψ -->
=
e
− − -->
i
q
θ θ -->
e
i
q
θ θ -->
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
− − -->
m
)
ψ ψ -->
=
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}\rightarrow {\bar {\mathcal {L}}}=e^{-iq\theta }{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)e^{iq\theta }\psi =e^{-iq\theta }e^{iq\theta }{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ={\mathcal {L}}}
となる。
物理学では、局所対称性 (local symmetry)とは、滑らかな基礎多様体 上の点によって、何らかの物理量の対称性 を持つことである。そのような量の例は、理論の観測可能量 、テンソル 、ラグランジアン である。この意味で対称性が局所的ならば、局所ゲージ変換を適用することができる。局所ゲージ変換は、対称群 の表現 が多様体上の函数であり、従って時空の異なる点では異なって作用するように取ることができることを意味する。
微分同相 群は、定義により局所対称性であり、全ての幾何学的、より一般には共変な理論（すなわち、一般相対論 のように、理論の方程式がテンソル方程式 となる）は局所対称性を持つ。
局所対称性という言葉は、特にヤン・ミルズ理論 では局所ゲージ対称性と結び付いている（標準模型 も参照）。そこでは、ラグランジアンがあるコンパクトリー群 の下に局所的に対称である。局所ゲージ対称性は光子 やグルオン のようなボゾン のゲージ場を持っている。局所対称性は、常に保存則 に加えて、力 を導く 。[ 5]
^ ヤンとミルズが強い力のゲージ理論を見つけたころ、数学でもほぼ同時にファイバーバンドルの理論が整備された。これはゲージ場の理論と数学的に等価であることが徐々に認識され、その後の数学と物理の交流の元となった。
内山龍雄 『一般ゲージ場論序説』岩波書店 、1987年。ISBN 4-00-005040-0 。 Lochlainn O'Raifeartaigh (1997). The dawning of gauge theory . Princeton series in physics. Princeton University Press. ISBN 0691029784 Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things . Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model with little formal mathematics.
![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c14ea7e10ea5417b072f07411f9f4773fa5360)
![{\displaystyle \ F_{\mu \nu }={\frac {1}{ig}}[D_{\mu },D_{\nu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f57fa9a18bea10d67b206e3da14c64b71d36ef6)
![{\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d45a28a2639568e520c6af6cb2be657169e8c53)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c423a8c500feae11216ef817412e48aedb5c24e8)
