量子電磁力学 （りょうしでんじりきがく、英語 : Quantum electrodynamics 電子 を始めとする荷電粒子 間の電磁相互作用 を量子論 的に記述する場の量子論 である。量子電気力学と訳される場合もある。
量子電磁力学では、荷電粒子間に働く電磁相互作用を光子 という粒子の受け渡しによるものと考える。荷電粒子と光子は量子的な場（場の演算子 ）として扱われる。電子の場は4成分のディラック場 、光子の場はベクトル場 である。
電子は電荷をもっており、この電荷が時空の各点で（つまり、常に連続的に）保存することを理論に要請すると、光子を表す場が自然に定義される。この要請はゲージ変換 と呼ばれる場の量の変換に対して理論が持つべき対称性（ゲージ不変性 ）
として表され、それを保証する場（光子場）をゲージ場 と呼ぶ。ゲージ場は厳密に質量が0である。光子の質量が0という事実（光速度不変の原理 ）は、このように、電子の電荷の保存と結びついている。
量子電磁力学のゲージ変換にまつわる理論の構造は、まず粒子場 を用意し、理論にゲージ不変性を要求することによって粒子間の相互作用を導くというゲージ原理 の考え方を導き、電磁相互作用以外の相互作用においても、場の理論 の構築の際の基礎とされている。
量子電磁力学は特殊相対性理論 と量子力学 を結びつけたポール・ディラック の電子論（ディラック方程式 ）では説明できない水素原子 の 2s と 2p 準位 のずれ（ラムシフト ）などを説明できるとされる。
1927年、ポール・ディラック は粒子の生成消滅演算子 という概念を導入することで電磁場の量子化 に初めて成功し[ 1] ヴォルフガング・パウリ 、ユージン・ウィグナー 、パスクアル・ヨルダン 、ヴェルナー・ハイゼンベルク らの尽力により量子電磁力学の定式化が始まり、1932年のエンリコ・フェルミ の論文[ 2]
光子や荷電粒子を計算すると無限大に発散する。この問題は1930年代初頭にロバート・オッペンハイマー [ 3] フェリックス・ブロッホ とアーノルド・ノルドジーク （英語版 ） [ 4] ヴィクター・ワイスコフ の研究[ 5]
時間の順序関係が成り立たないという因果律の破れが湯川やディラックにより指摘された。これも深刻な話である。
量子電磁力学は場の理論で記述され相対論を満たすが、相対論的な変換を行うと形式が保持されず、美しくなく見通しが悪い。これを相対論的な共変性がないという。
計算形式（ハイゼンベルク、シュレディンガー）は相互作用を含み、計算が複雑になる。無限大の発生を解決する上で障害となった。 このような問題で当時の物理学は混乱を極めたが、1943年、朝永は相対論的な共変性を満たす超多時間論を見出し、湯川らが指摘した因果律の破れを無限大の補正を加えて回避した。
同論文で、くりこみで本質的な役割を果たす相互作用表示を提示したことも重要である[ 6] 朝永振一郎 は、超多時間論や相互作用表示を基に、「くりこみ原理」の厳密な式を求めていく[ 7]
第二次世界大戦を経てマイクロ波 技術の進歩により水素原子のエネルギー準位の縮退からのずれ（ラムシフト ）
[ 8] 異常磁気モーメント [ 9] ハンス・ベーテ は、質量と電荷に無限大の補正を加えることで、無限大がうまく相殺し最終的に有限の物理量が導出されることを示す論文を提出したが[ 10] [ 11] [ 12]
朝永グループを率い、繰り込みを完成しようとしていた朝永振一郎 は、ラムシフト発見に驚くとともに、ベーテの1947年の非相対論的な計算が、朝永のP-F変換の延長上にあることを見出し、みずからの試みが正しいことを確信し、相対論的なくりこみ理論の完成を急いだ[ 13] 朝永振一郎 [ 15] ジュリアン・シュウィンガー [ 16] [ 17] リチャード・ファインマン [ 18] [ 19] [ 20] フリーマン・ダイソン [ 21] [ 22] [ 23] ノーベル物理学賞 を受賞した。ファインマンによるファインマン・ダイアグラム を用いた数学的なテクニックは朝永、シュウィンガーの演算子を用いる計算方法とはかなり異なるように見えたが、後にダイソンはこの二つのアプローチが数学的に等価であることを証明した。
繰り込みは場の量子論における基本的な概念の一つであり、理論の妥当性を保証するために必要不可欠な操作である。繰り込みの導入によって物理的な矛盾は解消できたが、ファインマン自身はその数学的な妥当性については最後まで満足せずに、"shell game"（「いんちき」）、"hocus pocus"（「奇術」）のようだと自著で述べている[ 24] 宮沢弘成 は、場の量子論における因果律の破れは最終的な解決にいたっていないと主張している。
量子電磁力学はその後に発展する場の量子論に関する数々の理論の基礎的なモデルとして採用されている。1964年にフランソワ・アングレール 、ロベール・ブルー [ 25] ゲラルド・グラルニク 、C・R・ヘイガン 、トマス・キブル [ 26] [ 27] ピーター・ヒッグス によってヒッグス機構 が考案された。さらに、1961年にシェルドン・グラショウ が電弱統一理論の基礎を構築し、これらの理論と自発的対称性の破れ 、南部＝ゴールドストーンの定理 などを組み合わせることで1967年、スティーヴン・ワインバーグ とアブドゥッサラーム がそれぞれ独立の研究で電磁相互作用 と弱い相互作用 を一つの相互作用へと統一することに成功し、電弱統一理論 が初めて完成した。一方、強い相互作用 を記述する量子色力学 は、1971年のヘーラルト・トホーフト による非可換ゲージ場 のくり込み可能性の証明や1973年のH. デビッド・ポリツァー 、デイビッド・グロス 、フランク・ウィルチェック による漸近的自由性 の研究によって強い相互作用の基礎理論としての地位を固めた。
数学的には、量子電磁力学（以下、QEDと表記）はU(1) 対称性を持つ可換 ゲージ理論 である。電荷を持つ物質場同士の相互作用を媒介するゲージ場は電磁場 である。
電磁場 A と相互作用する物質場 ψ についてのQED作用積分 は以下のように表される。
S
Q
E
D
[
ψ ψ -->
,
A
]
=
∫ ∫ -->
d
4
x
L
m
a
t
t
e
r
(
ψ ψ -->
,
D
ψ ψ -->
)
+
∫ ∫ -->
d
4
x
L
A
(
∂ ∂ -->
A
)
{\displaystyle S_{\mathrm {QED} }[\psi ,A]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )+\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{A}(\partial A)}
ここで、
L
m
a
t
t
e
r
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}
ラグランジアン密度 であり、微分は
D
ψ ψ -->
{\displaystyle {\mathcal {D}}\psi }
共変微分
D
μ μ -->
ψ ψ -->
j
(
x
)
=
∂ ∂ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
j
(
x
)
− − -->
i
e
A
μ μ -->
(
x
)
Q
j
ψ ψ -->
j
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}(x)=\partial _{\mu }\psi _{j}(x)-ieA_{\mu }(x)Q_{j}\psi _{j}(x)}
に置き換えられる。e は電磁相互作用の結合定数 で素電荷 である。
Qj は物質 ψj の U(1) チャージ である。
L
A
(
∂ ∂ -->
A
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)}
L
A
(
∂ ∂ -->
A
)
=
− − -->
1
4
F
μ μ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
である。
F
μ μ -->
ν ν -->
=
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
電磁場テンソル である。
物質場が質量 m のディラック場 の場合は
L
m
a
t
t
e
r
(
ψ ψ -->
,
D
ψ ψ -->
)
=
∑ ∑ -->
j
(
i
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
γ γ -->
μ μ -->
D
μ μ -->
ψ ψ -->
j
− − -->
m
j
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
ψ ψ -->
j
)
=
∑ ∑ -->
j
(
i
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
j
− − -->
m
j
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
ψ ψ -->
j
+
e
A
μ μ -->
Q
j
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
γ γ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}\right)\\&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}+eA_{\mu }Q_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}\right)\end{aligned}}}
となる。
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
=
ψ ψ -->
† † -->
γ γ -->
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma _{0}}
γ γ -->
μ μ -->
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
ガンマ行列 である。
ディラック場についてのラグランジュの運動方程式 を計算すると
i
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
i
− − -->
m
ψ ψ -->
i
− − -->
e
A
μ μ -->
Q
i
γ γ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
i
=
0
{\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}-eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}=0}
となる。第3項を右辺へ移行して
i
γ γ -->
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
i
− − -->
m
ψ ψ -->
i
=
e
A
μ μ -->
Q
i
γ γ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
i
{\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}=eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}}
とすれば、左辺が通常のディラック方程式 、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。
また4元電流密度 は
j
μ μ -->
(
x
)
=
− − -->
δ δ -->
S
m
a
t
t
e
r
[
ψ ψ -->
,
A
]
δ δ -->
A
μ μ -->
(
x
)
=
∑ ∑ -->
j
e
Q
j
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
j
γ γ -->
μ μ -->
ψ ψ -->
j
{\displaystyle j^{\mu }(x)=-{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }[\psi ,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{j}eQ_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}}
である。
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