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黄金分割探索は、単峰関数の極値（極大値または極小値）を求める方法の一つで、極値が存在するとわかっている範囲を逐次的に狭めていく方法である。この方法は、常に3点の関数値を保持し、それらの距離の比が黄金比であることからこの名で呼ばれている。フィボナッチ探索や二分探索と密接な関係がある。フィボナッチ探索と黄金分割探索は(Kiefer 1953) によって考案された（Avriel & Wilde 1966 も参照）。

図は極小値を求めるための黄金分割探索の1ステップを表している。縦軸は${\displaystyle f(x)}$の関数値、横軸はパラメータxを表す。3点${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{3}}$で${\displaystyle f(x)}$の値が評価されているものとする。${\displaystyle f_{2}}$は${\displaystyle f_{1}}$と${\displaystyle f_{3}}$のどちらよりも小さいので、fが単峰関数であることから、極小は${\displaystyle x_{1}}$から${\displaystyle x_{3}}$の範囲のどこかに存在するということがわかる。

次のステップでは、新しいxで関数を評価し、関数形を探る。このxを${\displaystyle x_{4}}$とする。${\displaystyle x_{4}}$は、最も広い区間（この場合${\displaystyle x_{2}}$と${\displaystyle x_{3}}$の間）のどこかに決めると効率がよい。図から、もし新しい関数値が${\displaystyle f_{4a}}$であったとすると、極小は${\displaystyle x_{1}}$から${\displaystyle x_{4}}$の区間に存在することがわかる。この場合、次のステップでは3点は${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{4}}$となる。一方、もし新しい関数値が${\displaystyle f_{4b}}$であった場合は、極小は${\displaystyle x_{2}}$から${\displaystyle x_{3}}$の区間に存在する。この場合、次の3点は${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{4}}$、${\displaystyle x_{3}}$となる。いずれの場合も、各ステップで極小が存在する範囲を狭められるということが保証されている。

図から、次のステップの区間は${\displaystyle x_{1}}$から${\displaystyle x_{4}}$（長さa+c）か${\displaystyle x_{2}}$から${\displaystyle x_{3}}$（長さb）のいずれかである。黄金分割探索では、この区間の長さが等しくなければならないという制約を置く。もし等しくなければ、運の悪い選択を繰り返すことで、収束速度が遅くなってしまう可能性がある。b = a+cを保証するためには、${\displaystyle x_{4}}$を${\displaystyle x_{4}=x_{1}+(x_{3}-x_{2})}$のように選択すればよい。

しかしここで、${\displaystyle x_{2}}$を${\displaystyle x_{1}}$と${\displaystyle x_{3}}$の間のどこに置けばよいのかという問題が残る。黄金分割探索では、3点の間隔の比が次の3点${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{4}}$あるいは${\displaystyle x_{2},x_{4},x_{3}}$の比に等しいようにとる。間隔の比を一定にすることで、${\displaystyle x_{2}}$が${\displaystyle x_{1}}$や${\displaystyle x_{3}}$に非常に近いといった状況が起こるのを防ぎ、各ステップで間隔が一様に小さくなっていくことを保証できる。

数学的には、 ${\displaystyle f(x_{4})}$の評価の前後で間隔の比が変わらないということを保証するためには、${\displaystyle f(x_{4})}$が${\displaystyle f_{4a}}$で次の3点が${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{4}}$であった場合を考えると

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}.}$

がいえる。一方、もし${\displaystyle f(x_{4})}$が${\displaystyle f_{4b}}$で次の3点が${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{4}}$、${\displaystyle x_{3}}$であった場合を考えると

${\displaystyle {\frac {c}{(b-c)}}={\frac {a}{b}}.}$

がいえる。これらの式からcを除去すると、

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{2}={\frac {b}{a}}+1}$

すなわち

${\displaystyle {\frac {b}{a}}=\varphi }$

がいえる。ただし、φは黄金比

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988\ldots }$

である。

このように、間隔の比が黄金比になっていることがこのアルゴリズムの名称の由来である。

表 話 編 歴 数理最適化 • 最適化問題 : メソッド • ヒューリスティック
非線形(無制約)	… 関数　 黄金分割探索 直線探索 ネルダー–ミード法 連続放物線補間（英語版） 勾配法 収束性 信頼領域 ウルフ条件 準ニュートン法 BFGS法 ブロイデン法 L-BFGS（英語版） DFP法 対称ランク1法（英語版） その他の求解法 ガウス・ニュートン法 最急降下法 レーベンバーグ・マルカート法 共役勾配法（非線形共役勾配法） 切り捨てニュートン法（英語版） ドッグレッグ法 … ヘッセ行列 最適化におけるニュートン法（英語版）
非線形(制約付き)	一般 バリア関数 ペナルティ関数法（英語版） 微分可能 ラグランジュの未定乗数法 逐次二次計画法 連続線形計画（英語版）
凸最適化	凸縮小化 切除平面法（英語版、デンマーク語版、ドイツ語版、スペイン語版） 簡約勾配法 劣勾配法（英語版） 線型 および 二次 内点法 カチヤンの楕円体法 カーマーカーの投影アルゴリズム ベイズ-交換 単体法 改訂単体法（英語版） 十文字法（英語版） レムケの主ピボット操作法（英語版） 有効制約法（英語版）
組合せ最適化	系列範例 (Paradigms) 近似アルゴリズム 動的計画法 貪欲法 整数計画問題(分枝限定法 若しくは 分枝カット法) グラフ理論 最小全域木 ベルマン–フォード法 ブルーフカ法 ダイクストラ法 ワーシャル–フロイド法 ジョンソン法（英語版） クラスカル法 最大フロー問題 Dinic法（英語版） エドモンズ・カープ フォード・ファルカーソン プッシュリラベル最大流アルゴリズム（英語版）
メタヒューリスティクス	進化的アルゴリズム（進化戦略） 山登り法 局所探索法 焼きなまし法 タブーサーチ ベイスンホッピング法
カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア（英語版）

表 話 編 歴 貴金属比
ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版） 黄金 角 進法 フィボナッチ数列 ケプラー三角形 長方形 菱形（英語版） 分割探索 螺旋 三角形 白銀 ペル数 長方形 青銀 カッパー ニッケル etc...