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数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 $M \otimes -$ が完全となる加群 $M$ のことである。ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された^[1]。

定義

$A$ を環、 $M$ を右 $A$ 加群とする。 $A$ 加群からなる任意の短完全系列

0\to N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to 0

に対して、 $M$ とのテンソル積をとった系列

0\to M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0

が完全になるとき、 $M$ は $A$ 上平坦である、または $M$ は平坦 $A$ 加群であるという。 $M$ が左 $A$ 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 $M$ に対しては、関手 $M \otimes A -$ は右完全ゆえ

M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

$A$ 代数 $B$ が平坦であるとは、 $B$ が $A$ 加群として平坦であることをいう。

性質

射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
（推移性） $B$ が平坦 $A$ 代数で、 $M$ が平坦 $B$ 加群ならば、 $M$ は $A$ 加群としても平坦である。
（係数拡大） $A$ 加群 $M$ が平坦ならば、任意の $A$ 代数 $B$ に対し、 $B$ 加群 $M \otimes A B$ も平坦である。
$A S$ を環 $A$ の積閉集合 $S$ による局所化とすると、 $A S$ は $A$ 上平坦である。
（局所性）上より、 $A$ の任意の素イデアル $p$ に対し、 $M p = M \otimes A A p$ は平坦な $A p$ 加群となる。逆に、任意の $p$ に対し $M p$ が $A p$ 上平坦ならば、 $M$ は $A$ 上平坦である。
$I$ を $A$ の自明でないイデアルとすると、 $A / I$ が $A S$ の形に書ける場合を除き、 $A$ 加群 $A / I$ は平坦でない。
$A$ 加群 $M$ が平坦であることと、任意の $A$ 加群 $N$ に対し $Tor A 1 (M, N) = 0$ となることとは同値である。

忠実平坦性

$M$ は平坦な $A$ 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき $M$ は忠実平坦な $A$ 加群であるという。

$A$ の任意の極大イデアル $m$ に対し、 $M \neq mM$ が成り立つ。
$0 \to M \otimes A N 1 \to M \otimes A N 2 \to M \otimes A N 3 \to 0$ が完全ならば、 $0 \to N 1 \to N 2 \to N 3 \to 0$ も完全である。
$0$ でない任意の $A$ 加群 $N$ に対し、 $M \otimes A N \neq 0$ が成り立つ。

$A$ 代数 $B$ に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。

$A$ の任意の素イデアル $p$ に対し、 $A \cap q = p$ なる $B$ の素イデアル $q$ が存在する。

概型論

スキームの射 $ƒ : X \to Y$ が平坦であるとは、 $X$ のすべての点 $x$ に対し、局所環の射 $O Y, ƒ(x) \to O X, x$ が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

平坦分解と平坦次元

環 $R$ 上の加群 $M$ に対し、各 $R$ -加群 $F i$ が平坦加群であるような次の完全列

\cdots \to F_{n+1}\to F_{n}\to \cdots \to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0

を $M$ の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての $i > n$ に対し $F i = 0$ であるような平坦分解を長さ $n$ の平坦分解という。そのような $n$ が存在する場合その最小値を $M$ の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は $\infty$ という。平坦次元は $fd(M)$ と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 $R$ -加群 $M$ と整数 $n \geq 0$ に対して以下は同値^[2]。

$fd(M) \leq n$ .
任意の右 $R$ -加群 $X$ に対して、 $\operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(X,M)=\{0\}.$
任意の $i \geq n + 1$ と任意の右 $R$ -加群 $X$ に対して、 $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(X,M)=\{0\}.$