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倍積完全数（ばいせきかんぜんすう、英: multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number）とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = kn （k は自然数）を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。

k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。

例えば、120 の約数の総和は

σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120

であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。

具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007691）

p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち m が単偶数である場合）、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。

k倍完全数の表

以下にそれぞれの k倍完全数 (k ≤ 11) のうち、現在見つかっている中で最小の数を挙げる。k=7 まではこれが最小であることが確認され、OEISに掲載されている（オンライン整数列大辞典の数列 A007539）。k=8 以降は Flammenkamp のページに拠った。

k	最小の k倍完全数	発見者、年
1	1	-
2	6	-
3	120	-
4	30240	デカルト、1638年
5	14182439040	デカルト、1638年
6	154345556085770649600	カーマイケル (en:Robert Daniel Carmichael)、1907年
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason、1911年
8	8.268099687077761372899241948635962893501… × 10¹³²	Stephen F. Gretton、1990年
9	5.61308081837371589… × 10²⁸⁶	Fred Helenius、1995年
10	4.48565429898310924… × 10⁶³⁸	George Woltman (en:George Woltman)、2013年
11	2.51850413483992918… × 10¹⁹⁰⁶	George Woltman、2001年

2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。

2倍完全数 : 完全数を参照。
3倍完全数 : 120, 672, 523776, 459818240, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005820）
4倍完全数 : 30240, 32760, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典の数列 A027687）
5倍完全数 : 14182439040, 31998395520, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046060）
6倍完全数 : 154345556085770649600, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046061）

7倍完全数 : 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000
8倍完全数 : 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000
9倍完全数 : 56130808183737158999998793684026231356147190822348283579122819870557664808030968216100782148452765644947099984854756332066651809002612793115408005967022213284272150201873375214629478176342119709234895003815657961417701371450048608475283004587476685222825422086715415685343739904000000000

^[1]

性質

k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。

k倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている。
k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。
k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい。これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は ${\frac {N}{n}}=k$ になることから証明できる。

例：n = 6 のとき

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {12}{6}}=2

倍積完全数の約数の和になっている数は 1, 12, 56, 360, 992, 2016, 16256, 120960, …（オンライン整数列大辞典の数列 A307741）

その他倍積完全数に関すること

倍積完全数の中に約数の和も倍積完全数になる数がある。16番目の倍積完全数459818240の約数の和は17番目の倍積完全数1379454720になる特徴をもつ。

例．1, 459818240, 51001180160,…(A323653)

参考文献

H.-J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255. doi:10.1007/BF01360184
C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206. doi:10.1007/BF01362422