伊藤の補題（いとうのほだい、Itō's/Itô's lemma）は、確率微分方程式の確率過程に関する積分を簡便に計算するための方法である。伊藤清が考案した。

確率過程、とくにウィーナー過程 ${\displaystyle B_{t}}$ の積分を考えたい。確率的にしか予言できない過程であっても、大数の法則を認めるような立場では、積分を定義することが出来る。 このような積分の定義の仕方にはいくつかあるが、伊藤清の定義した伊藤積分が、積分がマルチンゲールになるという応用上望ましい性質を持つため、しばしば用いられる。

確率過程 ${\displaystyle Y_{t}}$ の区間 ${\displaystyle [0,t]}$ におけるウィーナー過程 ${\displaystyle B_{t}}$ に関する積分を

${\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s}\,dB_{s}=\sum _{i=1}^{n-1}Y(t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))+Y(t_{n-1})(B(t)-B(t_{n-1}))}$

の分割 ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t}$ を細かくした極限で定義する。 関数 ${\displaystyle Y_{t}}$ は、よい性質（可測で、${\displaystyle B_{t}}$ が適合する増大情報系に適合し、局所二乗可積分）を持っているものとする。 一見、リーマン積分と似た定義である。しかし、区間 ${\displaystyle t_{i-1}\leq t<t_{i}}$ のどの ${\displaystyle t}$ で ${\displaystyle Y(t)}$ を評価してもリーマン積分は定義できるのに対し、伊藤積分は区間の左端 ${\displaystyle Y(t_{i-1})}$ を用いる。 この和は、分割の仕方によらず、分割を小さくする極限で一定の値に収束することが示される ^[1]。

この積分のいわば逆計算として、確率過程の微分 ${\displaystyle dB_{t}}$ が定義できる。 二次の微分 ${\displaystyle dB_{t}dB'_{t}}$ は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(B(t_{i})-B(t_{i-1}))(B'(t_{i})-B'(t_{i-1}))\qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

の分割 ${\displaystyle {t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{m}}}$ を細かくした極限で定義する^[2]。

確率過程 ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ が確率微分方程式

${\displaystyle dX_{t}=f(t)dt+g(t)dB_{t}}$

に従っているとき, ${\displaystyle h(t,x)}$ が${\displaystyle t,x}$ について二回連続微分可能とすると

${\displaystyle dh=\left.{\frac {\partial h}{\partial t}}\right|_{x=X_{t}}dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}f(t)dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}g(t)dB_{t}+\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\right|_{x=X_{t}}(g(t))^{2}dt}$

が成立する ^[3]。 確率過程を含まない積分表示では現れない ${\displaystyle x}$ の微分に関する二次の項が存在する。これはウィーナー過程の性質${\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt}$ による。

伊藤の公式は、${\displaystyle h(t,x)}$ の二次までのテイラー展開に

1. ${\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt}$
2. ${\displaystyle dB_{t}dt=0}$
3. ${\displaystyle (dt)^{2}=0}$

を適用して得られる形をしている。 伊藤ルールを用いると、次のような計算が出来る。

${\displaystyle de^{B_{t}^{2}}=2B_{t}e^{B_{t}^{2}}dB_{t}+(e^{B_{t}^{2}}+2B_{t}^{2}e^{B_{t}^{2}})dt}$

上記の確率過程を含む二回微分の定義(1) を用いる。 第一式^[4]は

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{m}(B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}}$

と置くと、${\displaystyle S}$ の期待値は

${\displaystyle E(S)=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})}$

である。 ウィーナー過程の性質により、それぞれの ${\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})}$ は独立だから${\displaystyle S}$ の分散は

${\displaystyle V(S)=\sum _{i=1}^{m}V((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})-(E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}))^{2}}$

である。

ウィーナー過程の性質により、 ${\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})}$ は平均 0 分散 ${\displaystyle t_{i}-t_{i-1}}$ の 正規分布に従う。すなわち、 ${\displaystyle E(B(t_{i})-B(t_{i-1}))=0}$、${\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=t_{i}-t_{i-1}}$、 ${\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})=3(t_{i}-t_{i-1})^{2}}$ となるから結局 ${\displaystyle E(S)=t}$ であり、分割を細かくする極限で

${\displaystyle V(S)=2\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq 2\max(t_{i}-t_{i-1})\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})=2\max(t_{i}-t_{i-1})t\to 0}$ となる。

チェビシェフの不等式を用いれば、${\displaystyle S}$ は ${\displaystyle E(S)=t}$ に(確率の意味で)収束することが示される。

第二式は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))\leq t\max(B(t_{i})-B(t_{i-1}))}$

と評価されて、${\displaystyle B(t)}$ は連続であるから分割を細かくすると右辺が 0 に収束する。

第三式は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq m{\frac {t^{2}}{m^{2}}}\to 0}$

と評価される。

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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